Las axiomáticas formalizadas

Simbolización.- es un procedimiento que consiste en aplicar el método del análisis lógico a una determinada proposición. Analizar lógicamente significa mostrar de una manera totalmente explicita y exhaustiva sus relaciones sintácticas subyacentes y permitir, determinar, de esa manera todas sus interpretaciones posibles.
Formalización
Formalizar quiere decir escribir una expresión de una manera estándar que todos entiendan.
El lenguaje lógico se denomina formalizado porque su propiedad más importante es la de revelar la formula o estructura de las proposiciones e inferencias. El lenguaje formalizado de la lógica de proposiciones consta de dos clases de signos variables proporcionales y constantes u operadores o conectores lógicos. Las variables proporcionales representan cualquier proposición atómica. Son letras minúsculas del alfabeto. Las meta variables representan cualquier fórmula o proposición compuesta son letras mayúsculas del alfabeto
Del razonamiento al cálculo.
Se piensa que resultaría prácticamente imposible satisfacer exigencias tan estrictas si se continuara expresándose en el lenguaje habitual, con su falta de precisión y sus numerosas irregularidades. Es de hecho, por esto, que la formalización supone la simbolización. Una axiomática formalizada aparece de este modo como un conjunto de signos, unos que son propios a la teoría y otros que son anteriores, provistos del enunciado de las reglas que se aplicarán al manejo de tales signos. Con frecuencia estas reglas se dividen en dos grupos: las reglas de estructura, destinadas a la formación de las expresiones (en ellas pueden colocarse las reglas para hacer las definiciones) y las reglas de deducción (destinadas a las demostraciones). Las primeras siempre deben permitir reconocer sin disputa alguna si una expresión (ya sea o no proposicional) se encuentra bien formada y, de este modo, pertenece al sistema; las segundas, si una deducción está bien llevada y si, en consecuencia, su conclusión constituye un teorema del sistema. Estas reglas, por supuesto, dejan por completo a un lado las interpretaciones eventuales de términos o de fórmulas, entre ellos los de la lógica. Sólo toman en cuenta la estructura formal de las expresiones, la sucesión de dibujos pequeños que se leen de izquierda a derecha y línea tras línea sobre la hoja. Más propiamente constituyen prescripciones para hacer un cálculo. Pueden compararse a las reglas del juego de ajedrez que nos muestran cómo deben colocarse al principio las piezas y luego cuáles son los movimientos permitidos de cada una de ellas. Entonces, una demostración no hará un llamado a nuestro sentimiento espontáneo de la evidencia de determinados encadenamientos lógicos, sino que se ocupará de transformar, en grados sucesivos y sin saltar ninguna etapa, una o varias fórmulas escritas con anterioridad como axiomas o teoremas, haciendo mención, en el caso de cada una de estas transformaciones elementales, del número de la regla que la autoriza hasta que se llegue finalmente, línea tras línea, a la fórmula que se busca. Debido a un cambio brusco de actitud, comparable al que afecta la conciencia ante una figura ambigua, el pensamiento, en lugar de atravesar los símbolos para apuntar por su intermediario a las cosas simbolizadas, ahora se detiene en los símbolos mismos, dejando para después su posible interpretación y retirándoles por el momento su función de símbolos con el fin de tomarlos como objetos últimos. Las exigencias de rigor habían hecho que se descartara como sospechosa a la intuición sensible, en especial la representación de figuras en el espacio, para confiar sólo en la evidencia de los encadenamientos lógicos.
La metamatemática.- será en relación a la expresión matemática lo que la matemática usual es en relación a sus objetos.
El límite de las demostraciones de no-contradicciones
Sin embargo, se hace necesaria una condición: cualesquiera que sean la complejidad e inseguridad de la teoría matemática estudiada y de las fórmulas simbólicas en donde se expresa, la demostración metamatemática que descansa sobre esta teoría deberá, bajo pena de caer en un círculo vicioso o de petición de principio, no hacer sino encadenamientos deductivos muy simples y no discutidos, de forma que logren en forma irresistible la adhesión de un espíritu atento. Del mismo modo que la consideración de signos remite a la representación visual, así la demostración sobre estos signos llama a la evidencia intelectual (aunque no sea sino para entender el sentido de las reglas, juzgar si son aplicadas correctamente, etc.). Mas ya sea racional o sensible, un retorno así a la intuición sólo es legítimo cuando no se va más allá del límite de las intuiciones elementales y que nadie o sospeche. Por más reducido que sea entonces el margen de la apreciación subjetiva para juzgar la validez de una teoría, el formalismo intransigente no se considerará aún del todo satisfecho. La primera noción desborda a la segunda porque, como una de las teorías matemáticas más elementales, comporta no sólo proposiciones en la actualidad inducidas sino proposiciones esencialmente indecidibles. Y como, por otro lado, el principio del tercero excluido y el enunciado contradictorio no son igualmente indemostrables (es decir, para las cuales puede establecerse que son igualmente indemostrables, el enunciado p y el enunciado contradictorio no) porque, de otra parte, el principio del tercero excluido cuya validez mantienen precisamente los formalistas contra sus adversarios intuicionistas, asegura que de dos proposiciones contradictorias una es necesariamente verdadera, aun en el caso de que no podamos decir cuál, se hace necesario concluir que existe, en el interior de una matemática axiomatizada, algo verdadero y no demostrable. Ya para una lengua formal tan restringida como la aritmética, su no-contradicción no podrá ser demostrada sino mediante una apelación a medios que le sean ajenos.
La axiomatización de la lógica
Problemas y dificultades análogos a los que conocía la metamatemática se encontraban, al mismo tiempo, en el terreno de la lógica. Por lo demás, ambos órdenes de investigación se encuentran actualmente asociados íntimamente. Cuando aún la axiomática se encontraba en sus comienzos, la condición de la lógica podía parecer, debido a su situación inicial, como privilegiada. Una teoría axiomatizada retiraba su significación y su verdad usuales a los términos y postulados sobre los que se edificaba, más para esta edificación hacía un llamado a teorías anteriores cuya verdad y sentido ya se encontraban presupuestos. Y en el punto de partida de estas teorías previas, anteriores a todas las otras, se encontraba la lógica.
Sin duda se podía afirmar de ésta que se axiomatizaba a sí misma puesto que de allí en adelante se presentaba, desde Frege y en especial en la gran síntesis de Russell y Whitehead, como un sistema deductivo en el que estaban despejados expresamente términos primeros y proposiciones primeras. Sólo que todavía no se daba aquí, si es posible decirlo, sino sólo una axiomática concreta. Los términos conservan aquí, más o menos, su acepción usual precisada sólo por las relaciones que enunciaban los postulados. Y éstos eran verdaderos axiomas, a la vez proposiciones primeras y evidencias intelectuales. El sistema tenía un sentido pleno y una verdad absoluta que se propagaban, mediante las definiciones y las demostraciones, a los términos derivados y a los teoremas. Al proponerse fundar la aritmética, y por su intermedio todo el edificio de las matemáticas sobre la lógica, el “logicismo” de Frege y de Russell tendía a algo muy distinto que proseguir simplemente el movimiento de retroceso hacia los principios; pensaba en llevarlo hasta su término, alcanzar la roca, el último fundamento. Los términos primeros de la axiomática peaniana se mantenían relativamente indeterminados, comportando una pluralidad de interpretaciones; las proposiciones primeras padecían la misma indeterminación y, al ser funciones proposicionales más que proposiciones, no constituían ni podían hacerlo el objeto de una afirmación categórica. Definiendo estos términos esencialmente variables con la ayuda de constantes lógicas, pensadas como otras tantas esencias intemporales, demostrando estos postulados, extraños hasta ahí a lo verdadero y a lo falso, recurriendo a la ayuda de los principios lógicos, concebidos como otros tantos axiomas que se imponen absolutamente al pensamiento, Russell pretendía dotar a los principios de las matemáticas, y en consecuencia a todas las deducciones subsiguientes, de un sentido absoluto y de una verdad absoluta. La matemática dejaba de ser esta ciencia “en donde no se sabe nunca de qué se habla ni si lo que se dice es verdadero” y volvía a ser categórico deductiva al modo de la lógica de la cual extraía toda su sustancia. Pero el crepúsculo de las evidencias no tardaría en alcanzar también a la lógica. Ya la aparición, con ocasión de la teoría de los conjuntos, de antinomias de las cuales se advertía que el origen debía ser buscado en su nivel, y luego el desacuerdo profundo que se había manifestado, en su discurso, acerca de la validez de éste o aquél de sus principios, comenzaron a conmover la idea de una legislación lógica absoluta, única y universal. La nueva orientación que hacia 1920 algunos lógicos comienzan a dar a su trabajo iba, ahora, a desagregar la lógica desde su interior. Pasó con ella lo que unos decenios antes había pasado con la geometría. Del mismo modo en que ésta dejó de ser única con la aparición de las geometrías no euclidianas después de haber sido intuitiva porque se la puso en forma axiomática, en la misma forma la lógica se pluraliza y se axiomatiza. Resultaba inevitable que la lógica, transformada en deductiva, se transformara también en el sentido de una axiomática abstracta. Las razones que invitaban a dejar de lado, en el desarrollo de un sistema, el sentido intuitivo de los términos, por temor a que pasara inadvertido en los razonamientos ulteriores, tenían valor para la lógica como para cualquier otra disciplina deductiva. En los términos de la teoría resultaba necesario no ver sino el soporte de las relaciones enunciadas en los postulados. De este modo las proposiciones de la lógica, despojadas así de su sentido propiamente lógico como lo estaban las de la geometría de su sentido propiamente geométrico—, se convierten pues en formas puras, meras tautologías como lo entenderá Wittgenstein. Esto es, enunciados que estrictamente no dicen nada acerca de lo real pero que, por esta razón, se mantienen válidos cualquiera que sea el contenido concreto que se vierta en ellos. Esta interpretación formal de la lógica favorece la aparición de lógicas no clásicas del mismo modo que, por una acción recurrente, éstas vienen a reforzarla. Porque si los principios son establecidos sólo hipotéticamente, no hay ya nada que prohíba establecer otros, modificar éste, eliminar aquél. Así se pasa de la lógica a las lógicas que uno construirá a su voluntad. A su vez, tal pluralidad de lógicas retira su privilegio a la lógica clásica, que sólo es un sistema entre otros y, al igual que ellos, una simple arquitectura formal cuya validez depende sólo de su coherencia interna. Sólo que la analogía, con respecto a la geometría, deja de ser, en este punto, esencial, dado que la lógica no dispone ya de ciencias anteriores de las que pueda hacerse uso para construirla como una axiomática formal. Ya, a medida que se remontaba la escala de las ciencias iba en aumento la dificultad de no presuponer nada en el trabajo de la axiomatización que perteneciera a la ciencia de la cual se trataba. Por ejemplo, en el caso de la aritmética la pluralidad numérica. Con la lógica, la dificultad llega a convertirse en una imposibilidad absoluta, pues necesariamente hace falta una lógica que regule las operaciones del axiomático. Seguramente es posible vigilar para poder ajustar la lógica que se está axiomatizando sobre la misma que sirve para axiomatizarla para hacer, dicho en otra forma, que la lógica operatoria se aplique sobre la lógica axiomatizada como uno de sus modelos posibles. No obstante, subsisten dudas bastante vergonzosas: primero, ¿se está seguro de poder lograr una correspondencia completa entre las dos? Ya a los primeros artífices de la lógica simbólica no se les había escapado observar que determinadas reglas de la deducción formal no podían ser incluidas en el formalismo, como la licencia de reemplazar, dentro de una fórmula del cálculo, las variables por constantes individuales, permiso sin el cual la fórmula no tendría ningún uso, puesto que sería presupuesta necesariamente dentro del uso de toda forma simbólica que pretendiera expresarla. De este modo resultaría necesario distinguir en forma clara entre los axiomas y las reglas, entre los enunciados que integran el cálculo y aquellos que lo regulan, dominando de alguna manera estos últimos al cálculo mismo, pero siguiendo siéndole exteriores
La metalògica
En tal forma, la axiomatización de la lógica la fuerza al desdoblamiento, no sólo al que es propio de toda axiomática que permite se haga de ella una lectura abstracta o concreta, sino también al que demanda la anterioridad de la actividad constructiva, tomando como referencia toda construcción formal. En su totalidad, la axiomática formal se encuentra rodeada por un dominio intuitivo: por debajo, las interpretaciones concretas que de ella se puedan dar, los modelos, que por lo general le han servido de base; por arriba, las ciencias que le son anteriores y que intervienen, en su proceso de edificación, con su verdad categórica y significado intuitivo. Pues bien, la colocación de la lógica, al extremo de la escala de las ciencias, le impide apoyarse en una ciencia previamente constituida. No obstante, si se desea expresar el saber que va implícitamente empleado en el trabajo de la axiomatización de la lógica, será imposible efectuarlo dentro de la lógica, sino en una nueva disciplina cuyo objeto serían las fórmulas de la lógica axiomatizada, así como las reglas de su manejo. La metalogica desempeña en esta forma, en relación con la lógica, el mismo papel que la metamatemática en relación con las matemáticas. Sin duda resultaría exagerado afirmar que nació de la axiomatización de la lógica, pues en cierto sentido todos los lógicos habían hecho ya, en cierto grado, metalogica, aunque sin saberlo. La axiomatización los obligó a tomar conciencia y a distinguirla en forma expresa de la lógica a la cual está vinculada como s objeto. A una lengua objetiva, como lo es el cálculo formal, viene a sobreponerse un metalenguaje que comprende especialmente las reglas de sintaxis del cálculo formal y las reglas semánticas de su interpretación concreta. Por supuesto, nada impide tomar ahora, a su vez, el metalenguaje como objeto de estudio y formular su sintaxis y organizarla posteriormente en una teoría deductiva, la cual podrá ser axiomatizada, simbolizada y formalizada. Sólo que por esta razón se empleará un metalenguaje nuevo o, si así se desea, se creará el objeto de una metalogica nueva. De este modo se puede, al menos en teoría, proseguir en forma indefinida tales escalonamientos, indicando con la palabra “indefinida”, la imposibilidad de señalar un límite a la regresión formalizadora y eliminar en el punto de partida de la elaboración axiomática todo rastro de intuición
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