lunes, 4 de julio de 2011

operaciones combinadas. Expresiones algebraicas.

OPERACIONES COMBINADAS
Las operaciones combinadas son aquellas en las que aparecen varias operaciones aritméticas para resolver.
Para obtener el resultado correcto deben seguirse las siguientes reglas:
Primero se deben separar los terminos y luego resolver cada uno de ellos.

Se resuelven las operaciones encerradas entre paréntesis, corchetes y llaves en el siguiente orden:
1) Potenciación y radicación
2) Multiplicación y división
3) Suma y resta

Se resuelven las sumas y las restas que separan los términos.



• La realización de este tipo de cálculos tiene sentido en dos casos: a) para expresar o llevar a cabo cálculos numéricos; y b) para resolver ecuaciones o problemas diversos. Un ejemplo del primer caso es el siguiente: el producto de dos binomios de la forma (x + a) (x – a) se puede expresar como:

• (x + a)(x - a) = x2 – ax + ax – a2 = x2– a2

EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Definición.-Dentro del proceso de solución de un ejercicio, problema o exposición de una teoría, un símbolo (generalmente una letra) que se usa para representar un número real arbitrario se llama variable real.
Término algebraico
Es el producto y/o división de una o más variables (factor literal) y un coeficiente o factor numérico.
Por ejemplo:


En este término algebraico, tenemos que 3 es el factor numérico y
el coeficiente literal.

En este término algebraico, tenemos que -1 es el factor numérico y ab
el coeficiente literal.

Expresión algebraica
Es el resultado de combinar uno o más términos algebraicos mediante las operaciones de adición y/o sustracción.
Por ejemplo:


Cuando una expresión algebraica tiene un sólo termino algebraico, recibe el nombre de Monomio. Si la expresión algebraica tiene dos términos algebraicos recibe el nombre de Binomio. Si tiene tres términos algebraicos, recibe el nombre de Trinomio. Y en caso contrario si tiene más de tres términos algebraicos, se denomina Multinomio.
Además, las expresiones algebraicas con exponentes positivos se llaman polinomios.
Por ejemplo:
es un monomio (polinomio), pues tiene un solo término algebraico (con exponentes positivos).


USO DE PARÉNTESIS
En álgebra, al igual que en aritmética, los paréntesis nos sirven para indicar que las operaciones que ellos encierran tienen prioridad ante las demás, o bien para indicar lo que está dentro de ellos debe ser considerado como un todo.

Para suprimir los paréntesis en una expresión algebraica se siguen las siguientes reglas:
- Si un paréntesis es precedido por un signo positivo, entonces se puede suprimir sin cambiar los signos de los términos que están dentro de ellos.
- En caso contrario, esto es si un paréntesis es precedido por signo negativo, entonces al suprimir el paréntesis los términos que están dentro de él cambian de signo.
- En el caso que a un paréntesis no le preceda ningún signo, entonces se entiende que el paréntesis tiene un signo positivo.

Por ejemplo, en la siguiente expresión, suprimir los paréntesis y reducir los términos semejantes.
Para resolver este ejercicio se puede hacer de dos formas, una es eliminar inmediatamente los paréntesis y luego reducir los términos semejantes. La segunda forma es reducir los términos semejantes dentro del paréntesis y luego eliminar los paréntesis, y nuevamente reducir términos semejantes. Aplicaremos la segunda forma:
Polinomios: Un polinomio en es la suma de cualquier numero de monomios.
Definición: Un polinomio en es una suma de la forma:

Donde es un entero no negativo y cada coeficiente de es un numero real. Si es diferente de cero, se dice que el polinomio es de grado.
El coeficiente de la potencia más alta de es el coeficiente principal del polinomio.


OPERACIONES CON POLINOMIOS:
Suma:
Sumamos términos semejantes es decir sumamos aquellos términos cuyas variables y exponentes sean iguales.
Los pasos para hacer las sumas son:
- Paso 1: Elimine los paréntesis
- Paso 2. Agrupe términos semejantes
- Paso 3. Sume y reste los términos semejantes.

Ejemplo: Halla la suma de:






Resta:
Funciona igual que la suma solo hay que tener en cuenta que el signo negativo antes del los paréntesis cambia el signo de los términos dentro del paréntesis.
Ejemplo: Resta los siguientes polinomios:



- Paso 1: Si un paréntesis tiene antepuesto o detrás un signo negativo, afecte los signos dentro del paréntesis cambiándolos por el opuesto y reemplaza el signo negativo que se encuentra antes del paréntesis por uno positivo.



- Paso 2: Elimine los paréntesis. Para hacerlo solo escriba los términos que están dentro del los paréntesis con sus signos correspondientes e ignore el signo + que entre los dos paréntesis.
- Paso 3: Agrupe los términos semejantes es decir los términos con iguales variables e iguales exponentes.
- Paso 4: Sume y reste los términos semejantes.






presentacion:

analisis de la informacion. relaciones de proporcionalidad

RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD
RAZÓN
Es el resultado de la comparación de dos cantidades de la misma especie con el fin de precisar cuanto excede uno de la otra.
Ejemplo:
100–50=50
La proporcionalidad es una relación entre magnitudes medibles.
Dadas dos razones a/b y c/d diremos que están en proporción si
a/b=c/d
Los términos a y d se denominan extremos mientras que b y c son los medios.
En toda proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios
a•d = b•c

PROPORCIONALIDAD DIRECTA
Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al aumentar una, aumenta la otra en la misma proporción.
Un kilo de harina cuesta 0.5 € si compramos 4 Kilos de harina nos costarán 2 € luego las magnitudes kg. De harina y precio son dos magnitudes directamente proporcionales, al aumentar una aumenta la otra en la misma proporción. Al multiplicarse por 4 la cantidad de harina se multiplica por 4 el precio

REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA
Dadas dos magnitudes, se conocen la equivalencia entre un valor de una y el valor de la otra. Entonces para cada nuevo valor que se de a una magnitud calculamos el valor proporcional de la segunda magnitud



El precio de tres bolígrafos es de 4.5 € ¿Cuánto cuestan 7 bolígrafos?



En 50 litros de agua de mar hay 1.300 gramos de sal. ¿Cuántos litros de agua de mar contendrán 5.200 gramos de sal?
Como en doble cantidad de agua de mar habrá doble cantidad de sal; en triple, triple, etc. Las magnitudes cantidad de agua y cantidad de sal son directamente proporcionales.
Si representamos por x el número de litros que contendrá 5200 gramos de sal, y formamos la siguiente tabla:
Se verifica la proporción:

Y como en toda proporción el producto de medios es igual al producto de extremos (en palabras simples, se multiplican los números en forma cruzada) resulta:
50 por 5.200 = 1.300 por x
En la práctica esto se suele disponer del siguiente modo:

Un kilo de harina cuesta 0.5 € si compramos 4 Kilos de harina nos costarán 2 € luego las magnitudes kg. de harina y precio son dos magnitudes directamente proporcionales, al aumentar una aumenta la otra en la misma proporción. Al multiplicarse por 4 la cantidad de harina se multiplica por 4 el precio

PROPORCIONALIDAD INVERSA
Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al aumentar una, disminuye la otra en la misma proporción.


En una granja avícola hay 300 gallinas que se comen un camión de grano en 20 días. Si se compran 100 gallinas más ¿En cuanto tiempo comerán la misma cantidad de grano?


Ejemplo 1
Un ganadero tiene forraje suficiente para alimentar 220 vacas durante 45 días. ¿Cuántos días podrá alimentar con la misma cantidad de forraje a 450 vacas?
Vemos que con el mismo forraje, si el número de vacas se duplica, tendrá para la mitad de días; a triple número de vacas, tercera parte de días, etc. Por tanto, son magnitudes inversamente proporcionales.

X = número de días para el que tendrán comida las 450 vacas
Se cumple que: 220 por 45 = 450 por x, de donde
En la práctica esto se suele disponer del siguiente modo:
Luego 450 vacas podrán comer 22 días

Ejercicio.
Tres pintores tardan 10 días en pintar una tapia. ¿Cuánto tardarán seis pintores en hacer el mismo trabajo? Al aumentar el número de pintores disminuye el tiempo que se tarda en pintar la tapia, como el número de pintores se multiplica por 2, el número de días que s emplean en pintar se divide por 2. Así tardarán 5 días.
En una granja avícola hay 300 gallinas que se comen un camión de grano en 20 días. Si se compran 100 gallinas más ¿En cuanto tiempo comerán la misma cantidad de grano?

presentacion:

lunes, 23 de mayo de 2011

El método axiomático en la ciencia

Se denomina axiomático al procedimiento mediante el cual trabajan las ciencias formales teniendo en cuenta el aspecto dinámico que involucra la formulación de los axiomas y la justificación de ciertos enunciados que se obtienen a partir de los axiomas mediante procedimientos de transformación. Si en cambio se consideran estáticamente los resultados de la aplicación del método es decir su aspecto estructural estaremos analizando sistemas deductivos o formales también llamados sistemas axiomáticos formales donde se abstrae el contenido significativo de sus componentes es decir se dejan del lado los aspectos semánticos y pragmáticos.
Ventajas del método axiomático
En sus principios, la formulación axiomática de una teoría deductiva podría parecer que tenía un interés limitado. Entre los matemáticos, gran cantidad de ellos no veían en ella sino poco más que un procedimiento elegante de hacer una exposición, cuyo refinamiento era muy superfluo, casi una especie de juego intelectual apto sólo para satisfacer espíritus en exceso escrupulosos en lo que respecta al rigor lógico, pero que se encontraba al margen del trabajo científico y verdaderamente productivo. Debido a su carácter deliberadamente formal, ¿no se prohibía la axiomática a sí misma enriquecer con sustancia alguna de carácter nuevo el contenido de nuestro conocimiento? Su utilidad como método aún parecía dudosa, no sólo en lo que toca a sus aplicaciones prácticas, sino incluso al interior de la ciencia pura. No obstante, la historia de la ciencia muestra en forma excesiva que, con frecuencia, las investigaciones inicialmente más desinteresadas son las que al final se revelan como las más fecundas. Después de todo, un espíritu escéptico ¿no habría expresado objeciones muy parecidas en el momento en que los griegos, al poner en forma deductiva todo un cuerpo de verdades empíricas, construyeron las matemáticas como una ciencia racional, iniciando en esta forma a la humanidad en la era científica? Si se reflexiona sobre ellas, las ventajas del método axiomático resultan manifiestas. En primer lugar constituyen un instrumento precioso de abstracción y análisis. El paso de una teoría concreta a la misma teoría axiomatizada, formalizada posteriormente, renueva, prolongándolo, el trabajo de abstracción que lleva, por ejemplo, de un número concreto (un montón de manzanas o de guijarros) al número aritmético, y después de la aritmética al álgebra, reemplazando los términos individuales por variables de las cuales sólo están determinadas las relaciones. Y, en fin, del álgebra clásica a la moderna, en la cual no sólo los objetos sino también las relaciones que se efectúan sobre estos objetos llegan a su vez a ser concretamente indeterminadas, fijadas sólo por algunas propiedades fundamentales muy abstractas. Por otro lado, ante el tratamiento axiomático, las nociones fundamentales de una teoría quedan con frecuencia confusas, tienen comprehensión que son a la vez demasiado ricas e insuficientemente explicadas. Nada garantiza entonces que estos elementos diversos continuarán siendo siempre compatibles, y nada nos precave en contra del peligro de resbalar en forma inconsciente en nuestros razonamientos de uno a otro. El método axiomático prosigue el análisis de las nociones primeras, obligando a aislar ciertas propiedades enunciadas expresamente en los axiomas y a usar únicamente a ellas o lo que se haya deducido de ellas. Un progreso en la abstracción va siempre a la par con un progreso en lo general, dejando caer algunas de las determinaciones disociadas por el análisis. La reducción de la comprehensión elimina las restricciones y asegura el ensanchamiento de la extensión. Russell afirma que generalizar es transformar una constante en una variable, y tal es precisamente el trabajo del axiomático cuando sustituye la recta, la congruencia, por x, y…, que satisfacen a las relaciones que enuncian los postulados. De este modo, cuando descartamos las significaciones intuitivas, que siempre son especiales, no sólo nos hacemos capaces de pensar en forma más desembarazada la teoría inicial, sino que, de golpe, se forma un instrumento intelectual plurivalente que puede utilizarse en todas las teorías isomorfas a la primera. Del mismo modo que una función es, como se ha dicho, un molde de proposiciones, una teoría axiomatizada llega a ser una especie de “función teórica”, un molde de teorías concretas. El defecto de la univocidad, lejos de perjudicar a las definiciones por postulados, por lo contrario constituye su interés. La indeterminación de una estructura formal no puede considerarse una indigencia desde el momento en que no es una cualquiera, sino que se encuentra regulada por condiciones muy precisas. La pluralidad de los posibles, en los límites precisamente delimitados, representa por lo contrario una verdadera riqueza virtual. Se obtiene de este modo, por la axiomática, una economía importante de pensamiento, pues se reúnen varias teorías en una, lo múltiple se piensa en uno. Pero también se gana bastante para el mismo saber. Primero, en su organización de conjunto. Al igual que la anatomía comparada, guiada por el principio de la identidad de plan, discierne en su pintoresca variedad los órganos homólogos, así también la axiomática, al descubrir las analogías formales, revela correspondencias insospechadas entre los dominios diversos de una misma ciencia e incluso parentescos entre ciencias que al parecer eran ajenas o lo parecían. Al poner de relieve la estructura invariante que es común a teorías que al parecer son heterogéneas, se hace posible dominarlas mediante el pensamiento y, en una visión más sintética, abrazar con la mirada vastos paisajes intelectuales que sólo se conocían fragmentariamente, en lo cual encontrarán provecho los espíritus que se encuentran más atentos al acrecentamiento cuantitativo de los conocimientos que a su organización armoniosa. Pues tal organización hace sensibles las lagunas que la analogía invita a llenar. Cada teoría saca provecho de las que, en la actualidad, se denominan emparentadas. Se transfieren aquí, donde no lo sugería nada intuitivo, los resultados adquiridos en otras partes. A estas ventajas, que ya en primer grado ofrecen las primeras axiomáticas, vienen en forma natural a combinarse, en las axiomáticas formalizadas, las de todo cálculo simbólico: seguridad, objetividad.
La axiomatización de las matemáticas
Resultaría en extremo difícil medir con precisión la parte que le corresponde al método axiomático en el desarrollo de las matemáticas modernas. Más que de una causalidad bien orientada, indudablemente sería obligado hablar con frecuencia de acciones recurrentes o conjugadas. La teoría de los grupos, por ejemplo, de la que ha sido posible decir que es la matemática despojada de su sustancia y reducida a su forma pura, nació antes que ella y se desarrolló inicialmente en forma independiente. No obstante, el espíritu en que se inspira está tan de acuerdo con la axiomática, y los problemas son a menudo tan cercanos, que ambos órdenes de investigaciones se encuentran en la actualidad relacionados muy íntimamente. Sus rasgos característicos ya son reconocidos fácilmente en el pensamiento matemático clásico: abstracción y generalización creciente, rechazo a la intuición que se sustituye con la lógica, subordinación del contenido a la estructura, establecimiento de correspondencias unificadoras, etc. No resulta menos cierto por esto que Hilbert, al haber enseñado a los matemáticos a “pensar axiomáticamente” haya modificado profundamente el “estilo matemático”, precisamente donde el método axiomático no se emplea en forma sistemática. Pero éste lo es cada vez más. Toda teoría matemática, desde la aritmética y la teoría de los conjuntos hasta el cálculo de probabilidades, ha sido ya axiomatizada y, con frecuencia, en formas múltiples. Esta notoria dificultad ilustra sorprendentemente lo que tiene de incómoda y transitoria la fase de la deducción concreta, en la cual se debe y no se puede justificar los principios. Las cosas quedaban claras en la fase empírica e inductiva. Al dejarnos guiar por nuestro sentimiento intuitivo de las probabilidades podríamos ver, por ejemplo, que no existe razón alguna para que caiga águila o sol. Y después llegamos a establecer las dos leyes, que la experiencia verificará, de las probabilidades totales y de las probabilidades compuestas. Y esto volverá a resultar claro en la fase axiomática, la de la deducción abstracta: ambas leyes quedarán establecidas ahora como principios. Tal purificación conceptual iniciática constituye apenas el beneficio menor que es posible obtener del método. Como se ha visto, el análisis axiomático destaca las estructuras de las teorías particulares que se encuentran ya constituidas, revelando así las analogías formales entre teorías con frecuencia muy alejadas en su contenido y que por esta razón permanecen como si fueran independientes. El cálculo de probabilidades con ciertas lógicas plurivalentes; la topología con determinados cálculos de lógica modal; teorías antiguas, puestas en claro con una luz nueva procedente del isomorfismo, pueden experimentar desarrollos inesperados. La similitud de funciones lleva también a crear, para una teoría, nociones abstractas que no podían sugerir nada en tanto se encontraban sujetas a su interpretación primigenia. De este modo nacen seres matemáticos nuevos. No sólo se aprovechan del tratamiento axiomático las teorías particulares, sino que toda la fisonomía del conjunto de las matemáticas se encuentra transformada. Debido a parentescos insospechados que se revelan de pronto, se redistribuye el universo matemático. El orden tradicional, que repartía las disciplinas matemáticas de acuerdo con los objetos de estudio (aritmética, álgebra, análisis infinitesimal, geometría) parece en la actualidad tan superficial como el de las antiguas clasificaciones zoológicas que agrupaban a los animales de acurdo con sus semejanzas exteriores (acuáticos, terrestres, aéreos) en lugar de basarse en las similitudes de su estructura. Se coordinan ahora teorías que tratan acerca de objetos muy diferentes pero que se encuentran dotados de propiedades formales análogas. La teoría de los números primos se halla muy cercana a la de las curvas algebraicas, la geometría euclidiana a las ecuaciones integrales simétricas. Y la subordinación se basa sobre la jerarquía de las estructuras, que van de las más simples y generales a las más complejas y más especiales. En primer lugar, algunas estructuras maestras que tienen un carácter más amplio: estructuras algebraicas, estructuras de orden, estructuras topológicas. A continuación estructuras que son ya más complejas y diferenciadas, en las que se combinan orgánicamente dos o más de estas estructuras maestras, como por ejemplo el álgebra topológica.
La axiomatización de las demás ciencias
El sistema axiomático no se aplicó exclusivamente a las matemáticas sino que se desbordó por todos lados. No constituirá sorpresa alguna que un método cuyo propósito es suplantar la intuición por la lógica haya encontrado su campo d elección en la misma lógica. Esta ciencia hace en la actualidad un empleo sistemático y regular de ella y, al contrario, su uso va disminuyendo a medida que se desciende en la escala de las ciencias, cuando se pasa de la mecánica a otras partes de la física y, de allí, a las ciencias de la naturaleza. Podría decirse que no ha excedido aún el dominio de la física. Los ensayos que se han hecho en el campo de otras ciencias, como Woodger lo intentó con la biología, continúan siendo esporádicos y su interés radica exclusivamente en la curiosidad que provocan. No se trata de que ninguna ciencia rechace, por su naturaleza misma, su empleo, pero éste, para que rinda frutos, sólo debe llegar a su hora y en el momento en que la ciencia en cuestión alcance cierto grado de madurez. Existe una especie de ley del desarrollo de las ciencias que las hace pasar en un orden irreversible, y cada una de ellas, a su turno, de acuerdo con el rango que ocupan en la jerarquía, por cuatro etapas sucesivas: la descriptiva, la inductiva, la deductiva y la axiomática. Una axiomática queda en una especie de vacío si no es construida sobre una teoría deductiva previa, la cual carece de valor científico si no organiza un vasto conjunto de leyes adquiridas inductivamente, tras una prolongada exploración de los fenómenos. La física inductiva en los siglos XVII y XVIII dio paso, en el siglo XIX, a la era de las grandes teorías deductivas y, en la actualidad, ha llegado al punto en el cual el tratamiento axiomático le es ampliamente aplicable. No siempre han sido sus partes iniciales en el tiempo las que han obtenido más beneficios de este tratamiento. En primer lugar, su carácter altamente abstracto y formal que inevitablemente resulta, entre otras muchas razones, de que han dejado de existir dentro de la escala de nuestra intuición. La axiomática consiste en el perfeccionamiento de la teoría deductiva, lo cual también significa que toda puesta en forma deductiva encamina ya por la ruta de la axiomática. La costumbre de duplicar el lenguaje mediante el simbolismo matemático ha acostumbrado a los físicos desde hace mucho tiempo a distinguir no entre teorías con imágenes y teorías abstractas, como entre dos aspectos, uno concreto y otro simbólico de la misma teoría. Pero de acuerdo con la comparación de Poincaré, las imágenes no son sino vestiduras sometidas al capricho de la moda, en tanto que la verdadera teoría, la que permanece, es el sistema de ecuaciones, esto es, de relaciones. Del mismo modo, no han dejado de observar las similitudes formales que se dan entre ecuaciones o sistemas de ecuaciones que pertenecen a capítulos de la física que son concretamente distintos y que, por ejemplo, rigen unos a los fenómenos mecánicos y otros a los fenómenos electromagnéticos: entonces, los isomorfismos les son familiares. Pero ya dentro de la organización conceptual que presupone el establecimiento de leyes, el trabajo de abstracción hace un llamado a las axiomáticas ulteriores. Si la física es una ciencia de lo concreto en el sentido de que descansa sobre lo real, por lo menos los términos entre los que se establecen las relaciones que enuncian las leyes son, por completo, algo distinto a los objetos concretos. La masa, la fuerza, la potencia, la resistencia, son entidades abstractas sugeridas seguramente, como su nombre lo indica, por imágenes, pero cuyo sentido propiamente científico queda fijado exclusivamente por las relaciones que sostienen entre ellas y con otras de naturaleza semejante
Los limites del método axiomático
Las ventajas que ofrece este método no deben, sin embargo, disimular sus límites. En primer lugar no se debe olvidar que sólo representa una de las fases de la ciencia y que incluso el lógico y el matemático no se desinteresan de ninguna manera de la verdad material de sus proposiciones. El aritmético bien puede pretender que la descuida, pero sin embargo no deja de acoger, aparte de situarlos en un nivel inferior, muchos “teoremas empíricos”, que en realidad son verdaderas leyes inductivas. Pero en el lugar preciso en que se procede axiomáticamente, no sería posible llevar adelante el método hacia donde apunta. Este se propone perseguir a la intuición para sustituirla no ya por el razonamiento sino por un cálculo, por un manejo regulado y privado de símbolos. En realidad el formalismo no es capaz de funcionar sin alimentarse, en éste u otro lugar, de la intuición. Y, en primer lugar, de la intuición concreta que lo sostiene. Sólo ocurre en los libros que una axiomática comienza con los axiomas y, en el espíritu del axiomático, ahí termina, pues presupone la deducción material a la que da forma, y ésta, a su vez, ha requerido un largo trabajo inductivo previo para poder reunir los materiales a los que da organización. Sobre estas bases, el trabajo verdadero del axiomático es descubrir los axiomas y, de hecho, no deducir las consecuencias de principios dados, sino por el contrario, frente a cierto conjunto de proposiciones, descubrir un sistema mínimo de principios de los cuales se puedan deducir. Al análisis inductivo que, de los hechos se remonta de las leyes, sucede el análisis axiomático que, prosiguiendo la obra de sistematización deductiva, se remonta de las leyes a los axiomas. Una vez que éstos han sido traducidos a símbolos, con sus reglas de funcionamiento, el formalista podrá olvidar las significaciones intuitivas iniciales.
Éstas no han requerido menos el diseño de su construcción y solas, incluso ahora, hacen comprender las líneas maestras y los contornos y aseguran su unidad: unidad orgánica y no mera yuxtaposición accidental de axiomas. El defecto de una presentación axiomática abrupta, en el momento en que afecta a espíritus que no se encuentran preparados, se encuentra precisamente en esta impresión irresistible de arbitrariedad y vacuidad. La axiomática prácticamente no presenta interés a quien previamente no ha asimilado el conjunto de conocimientos concretos que ordena cuando los esquematiza. No es sólo por juego que se construye una axiomática, y los instrumentos intelectuales se encuentran hechos para ser utilizados. Los teoremas de Gödel han puesto de manifiesto a los propios formalistas, pues en este caso desempeñan un papel comparable al del principio de incertidumbre formulado por Heidelberg en el campo de la física cuántica. Del mismo modo que la intervención de la actividad experimental en el contenido de la observación no puede agotarse en forma indefinida, esto ocurre en la misma forma con la intervención de la actividad mental en las axiomáticas simbolizadas y formalizadas. Ya sea que se alegre o se preocupe uno por esto resulta imposible eliminar el sujeto. De allí proviene la reacción del intuicionismo: “No podemos aceptar que el camino de la ciencia conduce a la eliminación del espíritu.” Incluso con sistemas lo suficientemente rudimentarios como para que no funcionen en ellos aun las interdicciones de Gödel, resulta claro que la percepción de una correspondencia analógica entre la interpretación objetiva y la interpretación sintáctica de las mismas fórmulas necesita, del mismo modo que la inteligencia, de un retruécano, de una iniciativa espiritual y que, por lo general, una cierta constelación de signos, negro sobre blanco, no alcanzará a ser, por decir algo, la demostración de una no contradicción, sino exclusivamente para un espíritu que sepa leerla como tal. El beneficio que provee el método axiomático no es el de excluir la intuición, sino contenerla y retrocederla hacia el terreno estrecho donde resulta irremplazable y posee la ventaja de sustituir el órgano por el instrumento, a continuación el instrumento por la máquina para, finalmente, dotar a la máquina de aparatos de autorregulación. Del mismo modo que una máquina, un mecanismo intelectual no resultaría seguro del todo si se tuviera la certeza total de que no tiene ningún defecto, que no está expuesto a sufrir una avería o a enloquecer, que en modo alguno surgirá una ambigüedad del tipo que sea acerca del modo de aplicar las reglas, o bien, que nunca se nos arroje a una alternativa indefinida de afirmaciones y negaciones que recuerden las antinomias cantorianas. Resulta sin duda más justo solicitar a la intuición y al formalismo que se controlen mutuamente, garantizando así el formalismo contra los errores de una intuición intemperante, aunque con la condición de que él mismo quede sometido a la vigilancia de una intuición aminorada. Por lo demás, nadie ha impugnado en forma seria el papel que mantiene la intuición en el descubrimiento. Cualquiera que sea la fecundidad de un método, su oficio es, sobre todo, de consolidación y, si se quiere, de prolongación, pero sobre un terreno previamente fijado. El método pone en orden lo adquirido y, al hacerlo, llena las lagunas y explota las aperturas, mas no inicia nada que sea esencialmente nuevo. Los descubrimientos revolucionarios son obra del genio que logra trastornar los métodos. Descubrir, probar, nada le resulta menos indispensable a la ciencia que requiere del espíritu de la aventura como del espíritu del rigor. Vistos en esta forma, incluso la intuición y el formalismo se complementan de acuerdo con la diversidad de los espíritus y los cambios de la historia. Un autor al que no se le puede acusar de tibieza para con la axiomática expresamente se encuentra de acuerdo con lo anterior.
presentacion:

Las axiomáticas formalizadas

Simbolización.- es un procedimiento que consiste en aplicar el método del análisis lógico a una determinada proposición. Analizar lógicamente significa mostrar de una manera totalmente explicita y exhaustiva sus relaciones sintácticas subyacentes y permitir, determinar, de esa manera todas sus interpretaciones posibles.
Formalización
Formalizar quiere decir escribir una expresión de una manera estándar que todos entiendan.
El lenguaje lógico se denomina formalizado porque su propiedad más importante es la de revelar la formula o estructura de las proposiciones e inferencias. El lenguaje formalizado de la lógica de proposiciones consta de dos clases de signos variables proporcionales y constantes u operadores o conectores lógicos. Las variables proporcionales representan cualquier proposición atómica. Son letras minúsculas del alfabeto. Las meta variables representan cualquier fórmula o proposición compuesta son letras mayúsculas del alfabeto
Del razonamiento al cálculo.
Se piensa que resultaría prácticamente imposible satisfacer exigencias tan estrictas si se continuara expresándose en el lenguaje habitual, con su falta de precisión y sus numerosas irregularidades. Es de hecho, por esto, que la formalización supone la simbolización. Una axiomática formalizada aparece de este modo como un conjunto de signos, unos que son propios a la teoría y otros que son anteriores, provistos del enunciado de las reglas que se aplicarán al manejo de tales signos. Con frecuencia estas reglas se dividen en dos grupos: las reglas de estructura, destinadas a la formación de las expresiones (en ellas pueden colocarse las reglas para hacer las definiciones) y las reglas de deducción (destinadas a las demostraciones). Las primeras siempre deben permitir reconocer sin disputa alguna si una expresión (ya sea o no proposicional) se encuentra bien formada y, de este modo, pertenece al sistema; las segundas, si una deducción está bien llevada y si, en consecuencia, su conclusión constituye un teorema del sistema. Estas reglas, por supuesto, dejan por completo a un lado las interpretaciones eventuales de términos o de fórmulas, entre ellos los de la lógica. Sólo toman en cuenta la estructura formal de las expresiones, la sucesión de dibujos pequeños que se leen de izquierda a derecha y línea tras línea sobre la hoja. Más propiamente constituyen prescripciones para hacer un cálculo. Pueden compararse a las reglas del juego de ajedrez que nos muestran cómo deben colocarse al principio las piezas y luego cuáles son los movimientos permitidos de cada una de ellas. Entonces, una demostración no hará un llamado a nuestro sentimiento espontáneo de la evidencia de determinados encadenamientos lógicos, sino que se ocupará de transformar, en grados sucesivos y sin saltar ninguna etapa, una o varias fórmulas escritas con anterioridad como axiomas o teoremas, haciendo mención, en el caso de cada una de estas transformaciones elementales, del número de la regla que la autoriza hasta que se llegue finalmente, línea tras línea, a la fórmula que se busca. Debido a un cambio brusco de actitud, comparable al que afecta la conciencia ante una figura ambigua, el pensamiento, en lugar de atravesar los símbolos para apuntar por su intermediario a las cosas simbolizadas, ahora se detiene en los símbolos mismos, dejando para después su posible interpretación y retirándoles por el momento su función de símbolos con el fin de tomarlos como objetos últimos. Las exigencias de rigor habían hecho que se descartara como sospechosa a la intuición sensible, en especial la representación de figuras en el espacio, para confiar sólo en la evidencia de los encadenamientos lógicos.
La metamatemática.- será en relación a la expresión matemática lo que la matemática usual es en relación a sus objetos.
El límite de las demostraciones de no-contradicciones
Sin embargo, se hace necesaria una condición: cualesquiera que sean la complejidad e inseguridad de la teoría matemática estudiada y de las fórmulas simbólicas en donde se expresa, la demostración metamatemática que descansa sobre esta teoría deberá, bajo pena de caer en un círculo vicioso o de petición de principio, no hacer sino encadenamientos deductivos muy simples y no discutidos, de forma que logren en forma irresistible la adhesión de un espíritu atento. Del mismo modo que la consideración de signos remite a la representación visual, así la demostración sobre estos signos llama a la evidencia intelectual (aunque no sea sino para entender el sentido de las reglas, juzgar si son aplicadas correctamente, etc.). Mas ya sea racional o sensible, un retorno así a la intuición sólo es legítimo cuando no se va más allá del límite de las intuiciones elementales y que nadie o sospeche. Por más reducido que sea entonces el margen de la apreciación subjetiva para juzgar la validez de una teoría, el formalismo intransigente no se considerará aún del todo satisfecho. La primera noción desborda a la segunda porque, como una de las teorías matemáticas más elementales, comporta no sólo proposiciones en la actualidad inducidas sino proposiciones esencialmente indecidibles. Y como, por otro lado, el principio del tercero excluido y el enunciado contradictorio no son igualmente indemostrables (es decir, para las cuales puede establecerse que son igualmente indemostrables, el enunciado p y el enunciado contradictorio no) porque, de otra parte, el principio del tercero excluido cuya validez mantienen precisamente los formalistas contra sus adversarios intuicionistas, asegura que de dos proposiciones contradictorias una es necesariamente verdadera, aun en el caso de que no podamos decir cuál, se hace necesario concluir que existe, en el interior de una matemática axiomatizada, algo verdadero y no demostrable. Ya para una lengua formal tan restringida como la aritmética, su no-contradicción no podrá ser demostrada sino mediante una apelación a medios que le sean ajenos.
La axiomatización de la lógica
Problemas y dificultades análogos a los que conocía la metamatemática se encontraban, al mismo tiempo, en el terreno de la lógica. Por lo demás, ambos órdenes de investigación se encuentran actualmente asociados íntimamente. Cuando aún la axiomática se encontraba en sus comienzos, la condición de la lógica podía parecer, debido a su situación inicial, como privilegiada. Una teoría axiomatizada retiraba su significación y su verdad usuales a los términos y postulados sobre los que se edificaba, más para esta edificación hacía un llamado a teorías anteriores cuya verdad y sentido ya se encontraban presupuestos. Y en el punto de partida de estas teorías previas, anteriores a todas las otras, se encontraba la lógica.
Sin duda se podía afirmar de ésta que se axiomatizaba a sí misma puesto que de allí en adelante se presentaba, desde Frege y en especial en la gran síntesis de Russell y Whitehead, como un sistema deductivo en el que estaban despejados expresamente términos primeros y proposiciones primeras. Sólo que todavía no se daba aquí, si es posible decirlo, sino sólo una axiomática concreta. Los términos conservan aquí, más o menos, su acepción usual precisada sólo por las relaciones que enunciaban los postulados. Y éstos eran verdaderos axiomas, a la vez proposiciones primeras y evidencias intelectuales. El sistema tenía un sentido pleno y una verdad absoluta que se propagaban, mediante las definiciones y las demostraciones, a los términos derivados y a los teoremas. Al proponerse fundar la aritmética, y por su intermedio todo el edificio de las matemáticas sobre la lógica, el “logicismo” de Frege y de Russell tendía a algo muy distinto que proseguir simplemente el movimiento de retroceso hacia los principios; pensaba en llevarlo hasta su término, alcanzar la roca, el último fundamento. Los términos primeros de la axiomática peaniana se mantenían relativamente indeterminados, comportando una pluralidad de interpretaciones; las proposiciones primeras padecían la misma indeterminación y, al ser funciones proposicionales más que proposiciones, no constituían ni podían hacerlo el objeto de una afirmación categórica. Definiendo estos términos esencialmente variables con la ayuda de constantes lógicas, pensadas como otras tantas esencias intemporales, demostrando estos postulados, extraños hasta ahí a lo verdadero y a lo falso, recurriendo a la ayuda de los principios lógicos, concebidos como otros tantos axiomas que se imponen absolutamente al pensamiento, Russell pretendía dotar a los principios de las matemáticas, y en consecuencia a todas las deducciones subsiguientes, de un sentido absoluto y de una verdad absoluta. La matemática dejaba de ser esta ciencia “en donde no se sabe nunca de qué se habla ni si lo que se dice es verdadero” y volvía a ser categórico deductiva al modo de la lógica de la cual extraía toda su sustancia. Pero el crepúsculo de las evidencias no tardaría en alcanzar también a la lógica. Ya la aparición, con ocasión de la teoría de los conjuntos, de antinomias de las cuales se advertía que el origen debía ser buscado en su nivel, y luego el desacuerdo profundo que se había manifestado, en su discurso, acerca de la validez de éste o aquél de sus principios, comenzaron a conmover la idea de una legislación lógica absoluta, única y universal. La nueva orientación que hacia 1920 algunos lógicos comienzan a dar a su trabajo iba, ahora, a desagregar la lógica desde su interior. Pasó con ella lo que unos decenios antes había pasado con la geometría. Del mismo modo en que ésta dejó de ser única con la aparición de las geometrías no euclidianas después de haber sido intuitiva porque se la puso en forma axiomática, en la misma forma la lógica se pluraliza y se axiomatiza. Resultaba inevitable que la lógica, transformada en deductiva, se transformara también en el sentido de una axiomática abstracta. Las razones que invitaban a dejar de lado, en el desarrollo de un sistema, el sentido intuitivo de los términos, por temor a que pasara inadvertido en los razonamientos ulteriores, tenían valor para la lógica como para cualquier otra disciplina deductiva. En los términos de la teoría resultaba necesario no ver sino el soporte de las relaciones enunciadas en los postulados. De este modo las proposiciones de la lógica, despojadas así de su sentido propiamente lógico como lo estaban las de la geometría de su sentido propiamente geométrico—, se convierten pues en formas puras, meras tautologías como lo entenderá Wittgenstein. Esto es, enunciados que estrictamente no dicen nada acerca de lo real pero que, por esta razón, se mantienen válidos cualquiera que sea el contenido concreto que se vierta en ellos. Esta interpretación formal de la lógica favorece la aparición de lógicas no clásicas del mismo modo que, por una acción recurrente, éstas vienen a reforzarla. Porque si los principios son establecidos sólo hipotéticamente, no hay ya nada que prohíba establecer otros, modificar éste, eliminar aquél. Así se pasa de la lógica a las lógicas que uno construirá a su voluntad. A su vez, tal pluralidad de lógicas retira su privilegio a la lógica clásica, que sólo es un sistema entre otros y, al igual que ellos, una simple arquitectura formal cuya validez depende sólo de su coherencia interna. Sólo que la analogía, con respecto a la geometría, deja de ser, en este punto, esencial, dado que la lógica no dispone ya de ciencias anteriores de las que pueda hacerse uso para construirla como una axiomática formal. Ya, a medida que se remontaba la escala de las ciencias iba en aumento la dificultad de no presuponer nada en el trabajo de la axiomatización que perteneciera a la ciencia de la cual se trataba. Por ejemplo, en el caso de la aritmética la pluralidad numérica. Con la lógica, la dificultad llega a convertirse en una imposibilidad absoluta, pues necesariamente hace falta una lógica que regule las operaciones del axiomático. Seguramente es posible vigilar para poder ajustar la lógica que se está axiomatizando sobre la misma que sirve para axiomatizarla para hacer, dicho en otra forma, que la lógica operatoria se aplique sobre la lógica axiomatizada como uno de sus modelos posibles. No obstante, subsisten dudas bastante vergonzosas: primero, ¿se está seguro de poder lograr una correspondencia completa entre las dos? Ya a los primeros artífices de la lógica simbólica no se les había escapado observar que determinadas reglas de la deducción formal no podían ser incluidas en el formalismo, como la licencia de reemplazar, dentro de una fórmula del cálculo, las variables por constantes individuales, permiso sin el cual la fórmula no tendría ningún uso, puesto que sería presupuesta necesariamente dentro del uso de toda forma simbólica que pretendiera expresarla. De este modo resultaría necesario distinguir en forma clara entre los axiomas y las reglas, entre los enunciados que integran el cálculo y aquellos que lo regulan, dominando de alguna manera estos últimos al cálculo mismo, pero siguiendo siéndole exteriores
La metalògica
En tal forma, la axiomatización de la lógica la fuerza al desdoblamiento, no sólo al que es propio de toda axiomática que permite se haga de ella una lectura abstracta o concreta, sino también al que demanda la anterioridad de la actividad constructiva, tomando como referencia toda construcción formal. En su totalidad, la axiomática formal se encuentra rodeada por un dominio intuitivo: por debajo, las interpretaciones concretas que de ella se puedan dar, los modelos, que por lo general le han servido de base; por arriba, las ciencias que le son anteriores y que intervienen, en su proceso de edificación, con su verdad categórica y significado intuitivo. Pues bien, la colocación de la lógica, al extremo de la escala de las ciencias, le impide apoyarse en una ciencia previamente constituida. No obstante, si se desea expresar el saber que va implícitamente empleado en el trabajo de la axiomatización de la lógica, será imposible efectuarlo dentro de la lógica, sino en una nueva disciplina cuyo objeto serían las fórmulas de la lógica axiomatizada, así como las reglas de su manejo. La metalogica desempeña en esta forma, en relación con la lógica, el mismo papel que la metamatemática en relación con las matemáticas. Sin duda resultaría exagerado afirmar que nació de la axiomatización de la lógica, pues en cierto sentido todos los lógicos habían hecho ya, en cierto grado, metalogica, aunque sin saberlo. La axiomatización los obligó a tomar conciencia y a distinguirla en forma expresa de la lógica a la cual está vinculada como s objeto. A una lengua objetiva, como lo es el cálculo formal, viene a sobreponerse un metalenguaje que comprende especialmente las reglas de sintaxis del cálculo formal y las reglas semánticas de su interpretación concreta. Por supuesto, nada impide tomar ahora, a su vez, el metalenguaje como objeto de estudio y formular su sintaxis y organizarla posteriormente en una teoría deductiva, la cual podrá ser axiomatizada, simbolizada y formalizada. Sólo que por esta razón se empleará un metalenguaje nuevo o, si así se desea, se creará el objeto de una metalogica nueva. De este modo se puede, al menos en teoría, proseguir en forma indefinida tales escalonamientos, indicando con la palabra “indefinida”, la imposibilidad de señalar un límite a la regresión formalizadora y eliminar en el punto de partida de la elaboración axiomática todo rastro de intuición
presentacion:

El nacimiento de la axiomática

En tanto que la geometría intentaba, recurriendo a sus proposiciones enseñar verdades, la forma racional que se ha dado a la presentación de la ciencia podría tener la apariencia de una especie de refinamiento intelectual, considerándose entonces el encadenamiento lógico sólo como el medio para lograr proposiciones verdaderas, o bien que fueran aceptadas ajustándose a una suerte de argumentación retórica ex praecognitis et praeconcessis que hacía aceptable algunos defectos de rigor, puesto que éstos eran suplidos por la intuición. Así se alcanzaba el resultado y no se comprometía la certidumbre de la ciencia. La pluralidad de geometrías existentes en la actualidad hace que no ocurra ahora lo mismo, dado que se pierde interés en la verdad material del contenido, y la validez de una geometría se hace descansar sobre la armazón lógica y cualquier falta hace que ésta se derrumbe, puesto que son violadas las reglas del juego si uno se apoya en la intuición. Otra razón impulsaba en el mismo sentido incuso a aquellos que continuaban dando importancia esencial a la verdad extrínseca de las proposiciones: la desconfianza creciente que provocaba la intuición espacial. Toda la historia de la geometría es testigo de la tendencia continua a limitar más y más sus alcances y a hacer crecer, en proporción, sus exigencias lógicas. En el siglo XIX, la “aritmetización del análisis” imprimió a este movimiento una aceleración considerable a la que contribuyó el surgimiento de las geometrías opuestas a la intuición. De este modo se produjeron apartamientos notables entre las sugerencias mentirosas de la intuición y lo que la demostración nos enseñaba sin que cupiera duda. Una proposición que todos tomaban por verdadera aparecía equivocada, y otra que hubiéramos aceptado sin vacilar debería ser probada. Por citar sólo dos ejemplos famosos, resulta falso que a una línea curva continua siempre se le pudiera trazar una tangente; también puede ser cierto que una línea curva, que no tenga ninguna anchura, pueda cubrir la superficie total de un cuadrado (Peano). Pasch, en 1882, intentó lograr la axiomatización inicial de la geometría. Si bien la solución que ofreció presenta una cantidad considerable de fallas, debidas en buena parte a que el autor mantuvo la misma actitud del empirismo clásico, al menos plantea claramente cuál es el problema: “Resulta necesario para que la geometría logre transformarse en una ciencia deductiva, que el modo de extraer una consecuencia sea, en todas sus partes, independiente de la idea del concepto geométrico. Al hacer una deducción, bien puede resultar conveniente y útil razonar acerca del significado de los conceptos de la geometría más usuales, pero esto de ninguna manera es necesario cuando en la deducción se presenta una laguna y (si no es posible suprimir tal laguna alterando el razonamiento) si las proposiciones que han sido tomadas como medios de prueba resultan insuficientes. Ponemos a continuación las condiciones fundamentales que, para que se le considere verdaderamente rigurosa, debe llenar una exposición deductiva:
1) Que los términos primeros, con los cuales se propone uno definir a todos los otros, sean enunciados claramente.
2) Que las proposiciones primeras, con las cuales se propone uno demostrar todas las otras, sean enunciadas claramente.
3) Que las relaciones que se enuncien entre los términos primeros sean sólo relaciones lógicas y que se mantengan independiente dl sentido concreto que pueda darse a los términos.
4) Que sean sólo estas relaciones las que puedan intervenir en las demostraciones en forma independiente del sentido que tengan los términos (esto prohíbe, particularmente, tomar en préstamo cualquier cosa concerniente a la consideración de las figuras).
Un sistema geométrico, aparte de la lógica, da por supuesto a la aritmética, pues para definir un triángulo es necesario utilizar el tres; asimismo, para demostrar que la suma de sus ángulos es igual a dos rectos, se hace necesario admitir la validez de los teoremas aritméticos relativos a la adición. En forma general, se denominará anteriores a un sistema axiomático a todos los conocimientos del sistema así llamado. Se verá entonces que si una axiomática aparece como un sistema puramente formal, los conocimientos que necesita para constituirse son nociones entendidas en la totalidad de su sentido, así como tesis tomadas en su verdad material. Recurrir a los conocimientos anteriores, especialmente si no se expresa declaradamente, choca con el espíritu de la axiomática, que se impone como deber tratar de explicarlo todo, sin que nada quede presupuesto. Queda claro que esto se puede matizar mediante el recurso de enumerar, al iniciar una axiomática, las ciencias que se presuponen. Tal formalidad no basta en forma alguna para resolver la infinidad de problemas que emergen aquí y cuya determinación resultar fundamental para los posteriores desarrollos de la axiomática. El aritmético y el lógico numeran sus proposiciones y teoremas, cuentan el número de sus nociones primeras. Y lo que es cierto en el caso de las nociones aritméticas con mayor razón lo es para las nociones lógicas. Por otro lado, no siempre resulta fácil delimitar con precisión la frontera entre lo que son las nociones propias de una ciencia y las que le resultan anteriores. Podemos leer por ejemplo en un tratado de geometría: “La recta a pasa por el punto A.” La frase pasa por pertenece aparentemente al vocabulario de la geometría; pero cómo es posible evitarla al decir: “El punto A pertenece a la recta a“, y que la pertenencia de un individuo a una clase (si se considera a la línea como una clase de puntos) es una noción lógica, el término pasa por debe en este caso ser incluido entre los términos lógicos. Un poco más allá podemos leer las dos frases: “Si un punto está dado fuera de un plano”, etc., y también: “Si un punto está dado fuera de una superficie esférica“, etc., ¿cómo se puede clasificar ese fuera de? En el primer caso citado simplemente se dice que el punto no pertenece al plano, tratándose entonces de un término lógico. Pero en el segundo caso lo que se quiere decir es algo más. No sólo que no pertenece a la superficie de la esfera sino también que no se encuentra situado en el interior de ésta. Por tanto, el mismo término debe ser considerado como propio de la geometría. Podría creerse que la enumeración hecha por separado de los términos de un sistema resultaría totalmente superflua, puesto que tales términos no son los que se pueden encontrar en las proposiciones primeras. Cierto es que en las primeras axiomáticas no siempre solía tomarse tal precaución. En algunas ocasiones resulta difícil reconocer en las proposiciones cuáles son los términos propios de la teoría, por lo que, se comprende, es necesario dar una lista exacta de ellos.
Indefinibles e indemostrables. Los sistemas equivalentes
Una de las características que definen en forma más visible que una teoría deductiva ha sido puesta en forma axiomática es, como se ha visto, que se comienza a despejar y enunciar en forma expresa y exhaustiva lo que son los indefinibles y los indemostrables de la teoría. Tal formulación demanda empero, si bien no correcciones, al menos alguna interpretación. En primer lugar, no resulta lógicamente necesario que todos los términos fundamentales y los postulados se presenten en conjunto desde el principio de la teoría y que queden agotados antes de que se inicien las definiciones y demostraciones. En vista de que una teoría axiomatizada alcanza un buen grado de complejidad, un procedimiento semejante pondría en riesgo la exposición sin lograr ventaja lógica alguna. En tal caso se considerará con frecuencia preferible avanzar en grados sucesivos y no ir presentando las nuevas nociones fundamentales con los postulados correspondientes a medida que vaya siendo necesario, ya sea en forma aislada o en grupo, con la condición bien entendida de que todo se haga en forma muy clara. Falta decir que la mención de términos aún no definidos y de las proposiciones no demostradas, debe preceder siempre la de los términos y las proposiciones de éstos derivadas, mediante demostración o definición, y es sólo en este sentido relativo que merecen ser definidos como primeros. Del mismo modo que las palabras primero y comienzo, indefinible e indemostrable sólo deben ser entendidas en sentido relativo. Existe la tendencia creciente a evitarlas de modo que se eviten las equivocaciones. Un término no puede ser indefinible del mismo modo que una proposición no puede ser indemostrable, salvo al interior de un sistema que ha sido estructurado en una forma determinada, y de manera continua pueden constituir el término de una demostración o una definición, siempre que se modifiquen adecuadamente las bases del sistema. Tengamos siempre en cuenta el ejemplo de la geometría euclidiana: no resulta imposible de ninguna forma demostrar en ella el postulado de las paralelas. De este modo, en lugar de demostrar por medio de aquella que la suma de los ángulos de un triángulo es igual a dos rectos o que a toda figura se le puede hacer corresponder una figura semejante de cualquiera magnitud o que por todo punto interior de un ángulo es posible trazar una recta que corte ambos lados, resulta imposible invertir este orden y podrá demostrarse la unicidad de la paralela tomando como postulado cualquiera de estas últimas proposiciones. Del mismo modo, la elección de los términos de la teoría que se instituirán como fundamentales queda al libre albedrío. Un cambio en la lista de los términos primeros basta para determinar el cambio correspondiente en los postulados, pues éstos enuncian relaciones entre esos términos. Resulta necesario entonces vigilar, al hablar de un sistema deductivo, que no se confundan dos acepciones de la voz sistema, esto es, el conjunto de las nociones y proposiciones que lo integran, ya sean primitivas o derivadas, así como cualquier organización lógica que se le dé. Un sistema, entendido como el conjunto de las nociones y proposiciones que lo integran, se presta a una multitud de representaciones axiomáticas. Por emplear una definición de Nicod, se trata de algo parecido a un poliedro, que puede descansar sobre gran variedad de bases. Tales sistemas distintos, en el sentido de organización lógica, reciben el nombre de equivalentes. De este modo, todas las reconstrucciones axiomáticas de la geometría euclidiana resultan equivalentes, pues en el fondo contienen el mismo conjunto de términos y proposiciones y sólo difieren en que éstos pueden dividirse en primitivos y derivados
Las definiciones por postulados
El estatuto lógico de los postulados queda bastante claro, no quedan afirmados a título de verdades generadoras de otras verdades, sino que sólo se les coloca a título de hipótesis que permiten deducir un conjunto dado de proposiciones o de las que uno se propone investigar las consecuencias que implican. Se sabe que en forma alguna resulta necesaria que las proposiciones sean verdaderas y que sean conocidas como tales para que sea posible razonar sobre ellas correctamente; la validez de un razonamiento es independiente de la verdad de su contenido. Este modo de determinar el valor de un término no puede considerarse propiamente una definición pues no establece una equivalencia lógica entre el término nuevo y una expresión conocida. Mas en vista de que sí cumple la función de una definición, esto es, fijar su significado, puede considerársele como una definición implícita. Esta noción se debe a Gergonne. “Si una frase”, observa, “contiene una sola palabra cuyo significado no es desconocido, el enunciado de esa frase bastaría para revelarnos su valor. Así, si se dice a una persona que conoce las voces triángulo y cuadrilátero, pero que nunca ha escuchado la voz diagonal, que cada una de las dos diagonales de un cuadrilátero lo divide en dos triángulos, imaginará de inmediato lo que es una diagonal, pues aquí se trata de la única línea que es capaz de dividir un cuadrilátero en un triángulo. Esta suerte de frases que dan la comprensión de una de las palabras de que se componen recurriendo al significado conocido de as otras podrían ser denominadas definiciones implícitas en oposición a las definiciones ordinarias que recibirían el nombre de definiciones explícitas.” Este procedimiento no tiene nada de extraño. Es del mismo modo como el niño aprende el sentido de la mayoría de las palabras de su idioma. En el campo de las ciencias físicas resulta común que una ley que ha sido establecida recurriendo a la ayuda de nociones provisionales permita, a cambio, precisar su sentido. El nominalismo científico se basaba en esto para establecer que las leyes son con frecuencia sólo definiciones disfrazadas. La ley de la caída de los cuerpos define la caída libre; la ley de las proporciones definidas caracteriza la combinación en oposición a la mezcla, etc. Las definiciones indirectas pueden compararse a una ecuación con una sola incógnita y cuyo valor lo fija el conjunto de la ecuación. Tal definición resulta unívoca si, en el ejemplo de Gergonne, un solo valor puede satisfacer la ecuación, pero no siempre es así. En especial, si tomamos en cuenta todo un sistema de ecuaciones con varias incógnitas, ocurrirá entonces que varios sistemas de raíces satisfagan las ecuaciones, e incluso una infinidad, como si se estableciera: Y = 2x Z = y+x
En un sentido el sistema queda determinado, pues si se da a una de las incógnitas algún valor arbitrario, los de las otras dos quedan fijados también de inmediato. En vez de individual la determinación es, de alguna forma, global, y asume un carácter más abstracto. En nuestro ejemplo, y siempre será el doble de x y z el triple. Más que los propios términos, son, como puede verse aquí, las relaciones entre los términos las que quedan exactamente determinadas. La caracterización de los términos primeros por las relaciones que enuncian entre ellos los postulados nos pone en una situación análoga. Un sistema de postulados puede compararse a un sistema de ecuaciones que tenga varias incógnitas; estas incógnitas se corresponden a los términos de la axiomática que se considera. Su valor no es cualquiera, pero no se encuentra determinado implícita, solidaria, equívocamente. Esta forma de establecer el sentido de los términos se considera un caso de definición implícita, la definición por postulados. Se entiende así por qué Poincaré podía afirmar, refiriéndose a los postulados de la geometría euclidiana, que se trata de definiciones disfrazadas. El conjunto de postulados euclidianos constituye, de hecho, una definición implícita del conjunto de las nociones euclidianas Puede verse mejor ahora que los postulados de una teoría no son proposiciones, esto es, que pueden ser verdaderas o falsas, puesto que contienen variables que, relativamente, se encuentran indeterminadas. Únicamente en el momento en que se dé determinado valor a esas variables, o dicho de otro modo, si se les sustituye por constantes, entonces los postulados se convertirán en proposiciones verdaderas o falsas, de acuerdo con la elección que se haya tomado para estas constantes, aunque entonces se sale de la axiomática y se pasa a sus aplicaciones
Los modelos el isomorfismo
A una teoría en el estadio pre axiomático se le puede dar el nombre de concreta, material o intuitiva. Esto significa que aún mantiene contacto con los conocimientos que organiza y que su contenido conserva su sentido y su verdad empíricos. Es tal el caso de la geometría ordinaria, como se enseña comúnmente en las escuelas. Es siempre posible, como se ha visto, reconstruir una determinada teoría deductiva concreta sobre distintas bases. De este modo, los diversos autores de tratados de geometría elemental, al mismo tiempo que ofrecen desde hace siglos el mismo cuerpo de doctrina, han ido más o menos modificando el ordenamiento euclidiano. Son secundarias hasta donde el contenido de la teoría es considerado esencial, pero estas diferencias formales toman una importancia creciente a medida que se descuida su contenido. Por eso es posible decir que su interés sólo se manifiesta en pleno con las axiomáticas, teorías abstractas y formales. En tal sentido se opondrá, a una teoría concreta determinada, la pluralidad de las axiomáticas que le corresponden. Por ejemplo, la axiomática de Hilbert es sólo una entre todas a las que se presta la geometría euclidiana. Consideremos por ahora sólo una de las axiomáticas múltiples de una teoría concreta. Como el sentido de sus términos, y en consecuencia, de todas sus proposiciones no está fijado sino equívocamente por los postulados, se podrá en todo caso, si se descubren varios sistemas de valores que satisfagan por igual el conjunto de las relaciones que enuncian los postulados, dar interpretaciones concretas distintas, o bien, escoger entre varias realizaciones. Las realizaciones concretas de una axiomática se denominan sus modelos. Se da como entendida de por sí que la teoría concreta original que proporcionó los puntos de referencia del esquema lógico trazado por la axiomática será uno de los modelos, pero no el único. Una axiomática se presta, como ya se comprobó en ocasión de la axiomática peaniana, a realizaciones diferentes y éstas pueden ser tomadas de dominios de pensamiento muy alejados del dominio inicial. Se da entonces una pluralidad de interpretaciones y modelos concretos que oponemos a una sola y misma axiomática.
En el caso en que los modelos no se distinguen de esta forma entre ellos sino por la diversidad de las interpretaciones concretas que pueda darse a sus términos y coinciden de manera precisa si se hace abstracción de éstas, de modo que se instalen en el plano de la axiomática formal, se dice entonces que son isomorfos, pues tienen la misma estructura lógica. El método axiomático tiene precisamente el interés de revelar los isomorfismos entre teorías concretas que son aparentemente heterogéneas, para restablecerlas en la unidad de un sistema abstracto. De este modo, cualquiera de estas teorías podrá servir de modelo a las otras, si ampliamos un poco el uso de esta palabra, así como a la teoría abstracta correspondiente. Existen entonces tres niveles que deben distinguirse y sobre los que es posible diversificar una teoría deductiva. Regresemos, como siempre, al ejemplo de la geometría euclidiana. En primer lugar, si se modifica en forma diversa por lo menos uno de sus postulados, se obtendrán otras teorías (geometría lobachetvskiana, no arquimediana, etc.), que serán sus vecinas o parientes (emparentadas). Es en este sentido que se habla de la pluralidad de las geometrías.
En lugar de modificar, dentro de un sistema de postulados compatibles e independientes, puede intentarse eliminar uno de ellos sin tocar a los demás. Entonces el sistema se debilita, dado que se le han eliminado ciertas determinaciones. Es por eso que allí se le ensancha abriendo la puerta a determinadas posibilidades que el postulado recién extraído tenía, por efecto, excluir. Dicho de otro modo, el sistema se encuentra empobrecido en comprehensión y enriquecido en extensión. Por ejemplo, si al mantener intactos los demás postulados euclidianos se niegan la unicidad de la paralela, se logra la geometría lobachetvskiana que, aunque diferente de la de Euclides, tiene, sin embargo, el mismo grado de particularidad. Pero si, al contrario, se deja totalmente indeterminado el número de las paralelas posibles, esto es, si en vez de reemplazar el postulado de las paralelas uno se contenta con suprimirlo, cavando en cierta forma un vacío en el sistema, se obtienen entonces los principios de una geometría más general en la que las de Euclides y Lobachetvskiana aparecerían como especificaciones. Puede intentarse hacer la operación a la inversa, probando reforzar y limitar un sistema determinado añadiéndole uno o varios postulados independientes de los primeros. Por lo general se tropieza con un obstáculo, pues llega un momento en que la adición de todo postulado independiente, el que sea, convierte al sistema en contradictorio. Se dice entonces que el sistema está saturado. Es éste el caso de la geometría euclidiana, con la condición de que no se incluyan en ella como postulados adicionales aquellos que, sin estar expresamente formulados, no estaban menos admitidos implícitamente en las demostraciones.
presentacion:

los defectos del aparato euclidiano

La axiomática
La geometría clásica, bajo la forma que le dio Euclides en sus elementos, paso durante mucho tiempo por un modelo insuperable, y aun difícilmente igualable, de teoría deductiva. Los términos propios de la teoría jamás se introducen en ella sin ser definidos; las proposiciones jamás se adelantan sin ser demostradas, a excepción de un pequeño número de entre ellas que se enuncian en primer lugar a titulo de principios: la demostración no puede, en efecto, remontarse al infinito y debe sin duda reposar sobre algunas proposiciones.
El geómetra no procede sino por vía demostrativa, no funda sus pruebas sino sobre lo que se ha establecido anteriormente, conformándose con las solas leyes de la lógica. Los griegos razonaron con toda la exactitud posible en las matemáticas y dejaron al género humano modelos del arte de demostrar.
Con ellos, la geometría dejo de ser una colección de recetas practicas o, cuando mas, de enunciados empíricos, para llegar a ser una ciencia racional. Un sistema axiomático se dice también: una teoría axiomática o, más brevemente, una axiomática es, pues, la forma acabada que toma, hoy, una teoría deductiva.
Postulados
Lo que atormento a los lectores de Euclides amigos del rigor, fue la intervención de los postulados. La simetría aparente entre la proposición que enuncia que por un punto pasa al menos una paralela, proposición que se establece por una demostración (teorema de existencia), y la que enuncia que pasa una a lo sumo (postulado de unicidad), hacia mas escandalosa aun la asimetría de las justificaciones.
Los sabios alejandrinos, árabes y modernos se aplicaron sucesivamente a ello, pero siempre el análisis revelaba que las pretendidas demostraciones se fundaban en alguna otra suposición, que muy frecuentemente quedaba implícita: no se había hecho sino cambiar de postulado.
Se sabe como el fracaso de las demostraciones directas sugirió la idea de una demostración por el absurdo, y como a su vez el fracaso de las demostraciones por el absurdo termino pronto, por una inversión del punto de vista, en la constitución de las primeras geometrías llamadas no-euclidianas. El alcance epistemológicas de esta nuevas teorías es considerable, pues contribuyeron favorablemente a desplazar el centro de interés de la geometría especulativa, trasportándolo del contenido hacia las estructura, de la verdad extrínseca de las proposiciones aisladas hacia las coherencia interna del sistema total.
Un teorema de geometría era a la vez un informe sobre las cosas y una construcción del espíritu, una ley de física y una pieza de un sistema lógico, una verdad de hecho y una verdad de razón. La geometría teórica abandona ahora decididamente el primer elemento, que remite a la geometría aplicada.
La verdad de los teoremas se refiere a los sistemas diferentes, por otra parte los sistemas mismos, ya no son solo cuestión de verdad o falsedad, sino en el sentido lógico de la coherencia o de la contradicción interna.
Las figuras
Las figuras no existen solo como un auxiliar del razonamiento, que duplican en cierta forma la demostración lógica mediante una ilustración sensible, sin ser indispensable. Puesto que no hay nada de eso ya sea que esta se suprima, se trace o se imagine la demostración se viene abajo.
En las exposiciones clásicas de geometría, un análisis atento descubre así un gran número de proposiciones implícitas. En primer lugar, las proposiciones de existencia. La posibilidad de construirla en la intuición prueba seguramente que la noción de la cual se trata no envuelve contradicción, pero es una prueba de hecho, no una justificación racional.
Los elementos no enuncian expresamente más que una sola proposición topológica, es decir, que conciernen al orden y a la continuidad, independientemente de toda consideración de ángulos y de métrica. Es claro que un método riguroso no puede permitirse este recurso permanente a la intuición. Exige que todas las propiedades supuestas sean enunciadas bajo la forma explicita de proposiciones: las que se demuestren, serán afirmadas como teoremas, las otras irán a aumentar el número de los postulados.
Los axiomas
Los axiomas también reciben el nombre de “nociones comunes” definidos por Euclides. La separación entre los axiomas y los postulados quedo a menudo indecisa. Frecuentemente, las dos palabras mismas han sido, y son aun, tomadas indiferentemente la una por la otra: como prueba, el nombre mismo de la axiomática, que se llamaría, sin duda, más justamente una postulantica.
El axioma envuelve en primer lugar la idea de una evidencia intelectual. Mientras que el postulado es una proposición sintética, cuya contradictoria, difícil o imposible de imaginar, permanece no obstante concesible, el axioma seria una proposición analítica que constituiría un absurdo negar.
Las definiciones
Las mismas razones que valen para la demostración, valen evidentemente para la definición. Se define un término mediante otros términos, estos a su vez mediante otros, de suerte que, para evitar la regresión al infinito, es necesario sin duda detenerse en algunos términos no definidos, así como las demostraciones deben apoyarse sobre algunas proposiciones no demostradas.
Las “definiciones” iníciales de Euclides no tienen de definiciones mas que la apariencia. Se reducen a simples descripciones empíricas, comparables a las que daría un diccionario, que tuviera por objeto dirigir el espíritu hacia la noción de lo que se trata.
Euclides define la línea recta: como la que descansa igualmente sobre sus puntos. Herón la substituye por la definición siguiente, en apariencia más clara: el camino más cortó entre dos puntos. Leibniz advierte con razón que la mayor parte de los teoremas que se apoyan sobre la recta no utilizan ni una ni otra de estas dos propiedades.
La utilidad de esta exigencia lógica aparecerá tanto mejor si la definición reúne bajo un mismo término un número mayor de propiedades heterogéneas: entonces no basta que cada una sea posible, es necesario que en conjunto sean integrables.
Demostración y definición
En el punto de partida de una teoría deductiva, concebida para satisfacer a las exigencias lógicas , deberán figurar no únicamente los tres “principios” tradicionales: definiciones, axiomas y postulados, sino proposiciones no demostradas que se llamaran “indiferentemente axiomas o postulados y términos no definidos: y todo el trabajo ulterior consistirá en construir a partir de ahí proposiciones nuevas, justificadas por medio de demostraciones y de términos nuevos, fijados por medio de definiciones.
Mediante la demostración y la definición se hacen operaciones fundamentales mediante las que se desarrolla una teoría deductiva. Pero ¿Qué condiciones debe satisfacer una buena demostración y una buena definición? Eso depende del fin que se asigne a estas operaciones y, también sobre este punto, las exposiciones clásicas de geometría carecen a menudo de claridad, puesto que se proponen en forma simultánea dos cosas diferentes, las cuales no se concilian necesariamente.
Si se pone en primer plano la verdad del contenido, entonces la demostración y la definición llegan a ser simples medios para establecerla. El papel de la definición será hacer concebir exactamente el sentido de los términos que componen las proposiciones, y el de la demostración, hacer admitir la verdad de estas.
La definición y la demostración dependen entonces, propiamente hablando, de la retorica; su función es esencialmente psicológica: pedagógica o didáctica. Sin embargo, en la otra hipótesis, no tienen más que una función lógica: reunir todos los términos y todas las proposiciones en un conjunto sistemático.
Pedagógicamente, la buena definición, la buena demostración, es la que el alumno comprende. Para el niño, la verdadera definición de la elipse no es la que aprende de memoria, sino algo como: un circulo alargado; la buena demostración no es la que escribe en su cuaderno, es la figura que la acompaña.
La demostración vacila entre una función psicológica (determinar el asentimiento) y una función lógica (organizar las proposiciones en sistema), asimismo la definición se instala una veces en el plano del pensamiento, otras en el discurso, y muy a menudo pretende hacer a la vez lo uno y lo otro.
IV.-El método axiomático en la ciencia
Ventajas del método axiomático
En sus comienzos, la formulación axiomática de una teoría deductiva podía parecer de interés limitado. Entre los matemáticos mismos, muchos no veían en ella, casi, mas que un procedimiento elegante de exposición, de un refinamiento bastante superfluo, una suerte de juego intelectual apto para satisfacer a espíritus excesivamente escrupulosos en cuanto al rigor lógico, pero al margen del trabajo científico verdaderamente productivo.
La historia de la ciencia, sin embargo, muestra de manera superabundante que a menudo las investigaciones inicialmente más desinteresadas son las que se revelan finalmente, como las más fecundadas.
Para la reflexión, las ventajas del método axiomático son manifiestas. Es, en primer lugar, un preciso instrumento de abstracciones y análisis. Ante el tratamiento axiomático, las nociones fundamentales de una teoría quedan a menudo aun confusas, tienen comprensiones a la vez demasiado ricas e insuficientemente explicitadas: nada nos garantiza entonces que estos diversos elementos seguirán siendo siempre compatibles, nada nos precave contra el peligro de resbalar inconscientemente, en nuestros razonamientos, del uno al otro.
La axiomatización de las matemáticas
La teoría de los grupos, por ejemplo, de la que se ha podido decir que es la matemática despojada de su substancia y reducida a su forma, nació entes que ella y se desarrollo, en primer lugar, de manera independiente; mas el espíritu en que se inspira es tan conforme al de la axiomática, y los problemas a menudo tan vecinos, que los dos ordenes de investigaciones se encuentran asociados de modo muy intimo. Se apoya en las tendencias mismas que caracterizan al espíritu matemático europeo y que no han hecho sino exasperarse desde hace un siglo, por eso el método axiomático no puede disociarse bien. Todas las teorías matemáticas, desde la aritmética y la teoría de los conjuntos hasta el cálculo de probabilidades, han sido axiomatizadas hoy, y a menudo de múltiples maneras.
Las cosas eran claras en la fase empírica e inductiva: dejándonos guiar por nuestro sentimiento intuitivo de las probabilidades. El análisis axiomático, destaca las estructuras de las teorías particulares ya constituidas, y revela así las analogías formales entre teorías a menudo muy alejadas por su contenido y, por esta razón, permanece independiente.
Las teorías matemáticas están puestas en correspondencia con teorías extra matemáticas, y particularmente con teorías lógicas: el cálculo de probabilidades con ciertas lógicas plurivalentes, la topología con ciertos cálculos de lógica modal.
La similitud de funciones conduce también a crear, para una teoría, nociones abstractas que nada podían sugerir mientras se les tenga sujeta a su interpretación primitiva, de la cual nacen nuevos seres matemáticos. No solamente las teorías particulares son las que se aprovechan del tratamiento axiomático. La fisonomía del conjunto de las matemáticas se encuentra transformada. En razón de parentescos insospechados que de pronto se revelan ahí, el universo matemático se distribuye.
La axiomatización en las otras ciencias
El tratamiento axiomático no fue solamente aplicado a las matemáticas, se desbordo por ambos lados. No debe sorprendernos de que un método que se propone suplantar la intuición por la lógica haya encontrado su terreno de elección en la lógica misma. Esta ciencia hace de ella hoy un empleo regular y sistemático, su uso disminuye a medida que se desciende la escala de las ciencias, que se pasa de la mecánica a las otras partes de la física, y de ahí a las otras cencías de la naturaleza.
Una axiomática permanece demasiado vana si no se construye sobre una teoría deductiva previa, la cual no tiene valor científico si no organiza un vasto conjunto de leyes adquiridas inductivamente. La física inductiva en los siglos XVII y XVIII, abrió en el siglo XIX la era de las grandes teorías deductivas, y ha llegado hoy al punto en donde el tratamiento axiomático le resulta aplicable demasiado ampliamente.
Una física tal es necesariamente estructural, la cual pide expresamente la subordinación de los términos a las relaciones, tan característicos del ordenamiento axiomático. Si no se ha extendido mucho el uso de exponer axiomáticamente el contenido de la física clásica, no es que la cosa presente dificultades especiales, al menos para las partes ya sistematizadas. La axiomática es el perfeccionamiento de la teoría deductiva, lo cual quiere decir también que toda puesta en forma deductiva inicia ya en la vía de la axiomática.
Limites del método axiomático
Las ventajas de este método disimulan los límites. Lo cual no representa sino una de las fases de la ciencia y que aun el lógico y el matemático no se desinteresan en modo alguno de la verdad material de sus proposiciones.

Este método propone perseguir a la intuición para substituirla, no ya por el razonamiento, sino por un cálculo, por un manejo regulado y privado de símbolos. El formalismo no puede funcionar sin alimentarse, de una y otra parte, de la intuición. La intuición concreta lo que sostiene, no en los libros donde una axiomática comienza con los axiomas: en el espíritu del axiomático, pues presupone la deducción material que pone en forma, y esta a su vez ha exigido un látigo trabajo inductivo previo para reunir los materiales que organiza.
Una axiomática no ofrece casi interés para quien no ha asimilado el conjunto de conocimientos concretos que ordena esquematizarlos. Puesto que no se construye una axiomática por simple juego, y los instrumentos intelectuales son hechos, también, para ser utilizados. El beneficio del método axiomático no es excluir la intuición, sino contenerla y hacerla retroceder hacia el estrecho terreno en donde es irremplazable. Tiene ventaja subsistir el órgano por el instrumento, luego, el instrumento por la maquina, de aparatos de auto-regulación: por más perfeccionada que se la imagine, su simple funcionamiento para no hablar de su construcción ni de su utilización exigirá siempre un control humano, no dispensara jamás de algunas intervenciones exteriores, así fuesen, cada vez, más mínimas y espaciadas.
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martes, 26 de abril de 2011

HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS

Matemáticas, estudio de las relaciones entre cantidades, magnitudes y propiedades, y de las operaciones lógicas utilizadas para deducir cantidades, magnitudes y propiedades desconocidas.
En el pasado las matemáticas eran consideradas como la ciencia de la cantidad, referida a las magnitudes (como en la geometría), a los números (como en la aritmética), o a la generalización de ambos (como en el álgebra). Hacia mediados del siglo XIX las matemáticas se empezaron a considerar como la ciencia de las relaciones, o como la ciencia que produce condiciones necesarias. Esta última noción abarca la lógica matemática o simbólica —ciencia que consiste en utilizar símbolos para generar una teoría exacta de deducción e inferencia lógica basada en definiciones, axiomas, postulados y reglas que transforman elementos primitivos en relaciones y teoremas más complejos.
Trataremos la evolución de los conceptos e ideas matemáticas siguiendo su desarrollo histórico. En realidad, las matemáticas son tan antiguas como la propia humanidad: en los diseños prehistóricos de cerámica, tejidos y en las pinturas rupestres se pueden encontrar evidencias del sentido geométrico y del interés en figuras geométricas. Los sistemas de cálculo primitivos estaban basados, seguramente, en el uso de los dedos de una o dos manos, lo que resulta evidente por la gran abundancia de sistemas numéricos en los que las bases son los números 5 y 10.
Las matemáticas en la antigüedad
Las primeras referencias a matemáticas avanzadas y organizadas datan del tercer milenio a.C., en Babilonia y Egipto. Estas matemáticas estaban dominadas por la aritmética, con cierto interés en medidas y cálculos geométricos y sin mención de conceptos matemáticos como los axiomas o las demostraciones.
Los primeros libros egipcios, escritos hacia el año 1800 a.C., muestran un sistema de numeración decimal con distintos símbolos para las sucesivas potencias de 10 (1, 10, 100…), similar al sistema utilizado por los romanos. Los números se representaban escribiendo el símbolo del 1 tantas veces como unidades tenía el número dado, el símbolo del 10 tantas veces como decenas había en el número, y así sucesivamente. Para sumar números, se sumaban por separado las unidades, las decenas, las centenas… de cada número. La multiplicación estaba basada en duplicaciones sucesivas y la división era el proceso inverso.
Utilizando este sistema, los egipcios fueron capaces de resolver problemas aritméticos con fracciones, así como problemas algebraicos elementales. En geometría encontraron las reglas correctas para calcular el área de triángulos, rectángulos y trapecios, y el volumen de figuras como ortoedros, cilindros y, por supuesto, pirámides. Para calcular el área de un círculo, los egipcios utilizaban un cuadrado de lado del diámetro del círculo, valor muy cercano al que se obtiene utilizando la constante pi (3,14).
El sistema babilónico de numeración era bastante diferente del egipcio. En el babilónico se utilizaban tablillas con varias muescas o marcas en forma de cuña (cuneiforme); una cuña sencilla representaba al 1 y una marca en forma de flecha representaba al 10 (véase tabla adjunta). Los números menores que 59 estaban formados por estos símbolos utilizando un proceso aditivo, como en las matemáticas egipcias. El número 60, sin embargo, se representaba con el mismo símbolo que el 1, y a partir de ahí, el valor de un símbolo venía dado por su posición en el número completo.
Con el tiempo, los babilonios desarrollaron unas matemáticas más sofisticadas que les permitieron encontrar las raíces positivas de cualquier ecuación de segundo grado. Fueron incluso capaces de encontrar las raíces de algunas ecuaciones de tercer grado, y resolvieron problemas más complicados utilizando el teorema de Pitágoras. Los babilonios compilaron una gran cantidad de tablas, incluyendo tablas de multiplicar y de dividir, tablas de cuadrados y tablas de interés compuesto. Además, calcularon no sólo la suma de progresiones aritméticas y de algunas geométricas, sino también de sucesiones de cuadrados. También obtuvieron una buena aproximación de f.
Las matemáticas en Grecia
Los griegos tomaron elementos de las matemáticas de los babilonios y de los egipcios. La innovación más importante fue la invención de las matemáticas abstractas basadas en una estructura lógica de definiciones, axiomas y demostraciones. Según los cronistas griegos, este avance comenzó en el siglo VI a.C. con Tales de Mileto y Pitágoras de Samos. Este último enseñó la importancia del estudio de los números para poder entender el mundo. Algunos de sus discípulos hicieron importantes descubrimientos sobre la teoría de números y la geometría, que se atribuyen al propio Pitágoras. En el siglo V a.C., algunos de los más importantes geómetras fueron el filósofo atomista Demócrito de Abdera, que encontró la fórmula correcta para calcular el volumen de una pirámide, e Hipócrates de Cos, que descubrió que el área de figuras geométricas en firma de media luna limitadas por arcos circulares son iguales a las de ciertos triángulos.
A finales del siglo V a.C., un matemático griego descubrió que no existe una unidad de longitud capaz de medir el lado y la diagonal de un cuadrado, es decir, una de las dos cantidades es inconmensurable.
Las matemáticas en la edad media
Las matemáticas en el mundo islámico
Las matemáticas durante el renacimiento
Las matemáticas en el siglo XIX
ARITMETICA
Aritmética, literalmente, arte de contar. La palabra deriva del griego arithmHtikH, que combina dos palabras: arithmos, que significa ‘número’, y technH, que se refiere a un arte o habilidad. Los números usados para contar son los naturales o enteros positivos. Se obtienen al añadir 1 al número anterior en una serie sin fin. Las distintas civilizaciones han desarrollado a lo largo de la historia diversos tipos de sistemas numéricos. Uno de los más comunes es el usado en las culturas modernas, donde los objetos se cuentan en grupos de 10. Se le denomina sistema en base 10 o decimal.
Adición
La operación aritmética de la adición (suma) se indica con el signo más (+) y es una manera de contar utilizando incrementos mayores que 1.
Números negativos
El cálculo de la sustracción aritmética no es difícil siempre que el sustraendo sea menor que el minuendo.
Multiplicación
La operación aritmética de la multiplicación se indica con el signo por (×).
División
La operación aritmética de la división es la operación recíproca o inversa de la multiplicación.
GEOMETRIA
Geometría (del griego geR, 'tierra'; metrein, 'medir'), rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades del espacio. En su forma más elemental, la geometría se preocupa de problemas métricos como el cálculo del área y diámetro de figuras planas y de la superficie y volumen de cuerpos sólidos. Otros campos de la geometría son la geometría analítica, geometría descriptiva, topología, geometría de espacios con cuatro o más dimensiones, geometría fractal, y geometría no euclídea.
Historia de las Matemáticas: El infinito
'La interacción de filosofía y matemáticas en raras ocasiones se revela con tanta claridad como en el estudio del infinito entre los antiguos griegos. Los enigmas dialécticos de los Eleáticos del siglo V, refinados por Platón y Aristóteles en el siglo IV, y complementados con la invención de métodos precisos de límites, como los aplicados por Eudoxo en el siglo IV y Euclides y Arquímedes en el III'.
Galileo propuso añadir un número infinito de espacios infinitamente pequeños a la longitud menor para hacerla igual a la mayor y permitir que tuviesen el mismo número de puntos.
'Estas dificultades son reales; y no son las únicas. Pero recordemos que estamos tratando con infinitos e indivisibles, los cuales trascienden nuestra comprensión finita, los primeros a causa de su magnitud, los últimos debido a su pequeñez. A pesar de esto, los hombres no pueden abstenerse de discutirlos, incluso aunque deba hacerse de forma indirecta'.
El símbolo infinito que usamos para el infinito hoy día, se usó por primera vez por John Wallis quien lo usó en De sectionibus conicis en 1655 y de nuevo en Arithmetica infinitorum en 1656. Eligió este símbolo para representar el hecho de que se podría atravesar la curva infinitamente.
El método estaba basado en demostrar que si una proposición era cierta para algún valor entero positivo n, entonces también era verdad para algunos valores enteros positivos menores que n.
Newton creía que el espacio es de hecho infinito y no indefinidamente grande. Proclamó que tal infinidad podía ser comprendida, usando en particular argumentos geométricos, pero no pudo concebirlo.
El infinito es simplemente una forma de hablar, el significado real es un límite con ciertos rangos de aproximación indefinidamente cercanos, mientras que otros se les permite incrementarse sin restricción.
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