El nacimiento de la axiomática

En tanto que la geometría intentaba, recurriendo a sus proposiciones enseñar verdades, la forma racional que se ha dado a la presentación de la ciencia podría tener la apariencia de una especie de refinamiento intelectual, considerándose entonces el encadenamiento lógico sólo como el medio para lograr proposiciones verdaderas, o bien que fueran aceptadas ajustándose a una suerte de argumentación retórica ex praecognitis et praeconcessis que hacía aceptable algunos defectos de rigor, puesto que éstos eran suplidos por la intuición. Así se alcanzaba el resultado y no se comprometía la certidumbre de la ciencia. La pluralidad de geometrías existentes en la actualidad hace que no ocurra ahora lo mismo, dado que se pierde interés en la verdad material del contenido, y la validez de una geometría se hace descansar sobre la armazón lógica y cualquier falta hace que ésta se derrumbe, puesto que son violadas las reglas del juego si uno se apoya en la intuición. Otra razón impulsaba en el mismo sentido incuso a aquellos que continuaban dando importancia esencial a la verdad extrínseca de las proposiciones: la desconfianza creciente que provocaba la intuición espacial. Toda la historia de la geometría es testigo de la tendencia continua a limitar más y más sus alcances y a hacer crecer, en proporción, sus exigencias lógicas. En el siglo XIX, la “aritmetización del análisis” imprimió a este movimiento una aceleración considerable a la que contribuyó el surgimiento de las geometrías opuestas a la intuición. De este modo se produjeron apartamientos notables entre las sugerencias mentirosas de la intuición y lo que la demostración nos enseñaba sin que cupiera duda. Una proposición que todos tomaban por verdadera aparecía equivocada, y otra que hubiéramos aceptado sin vacilar debería ser probada. Por citar sólo dos ejemplos famosos, resulta falso que a una línea curva continua siempre se le pudiera trazar una tangente; también puede ser cierto que una línea curva, que no tenga ninguna anchura, pueda cubrir la superficie total de un cuadrado (Peano). Pasch, en 1882, intentó lograr la axiomatización inicial de la geometría. Si bien la solución que ofreció presenta una cantidad considerable de fallas, debidas en buena parte a que el autor mantuvo la misma actitud del empirismo clásico, al menos plantea claramente cuál es el problema: “Resulta necesario para que la geometría logre transformarse en una ciencia deductiva, que el modo de extraer una consecuencia sea, en todas sus partes, independiente de la idea del concepto geométrico. Al hacer una deducción, bien puede resultar conveniente y útil razonar acerca del significado de los conceptos de la geometría más usuales, pero esto de ninguna manera es necesario cuando en la deducción se presenta una laguna y (si no es posible suprimir tal laguna alterando el razonamiento) si las proposiciones que han sido tomadas como medios de prueba resultan insuficientes. Ponemos a continuación las condiciones fundamentales que, para que se le considere verdaderamente rigurosa, debe llenar una exposición deductiva:
1) Que los términos primeros, con los cuales se propone uno definir a todos los otros, sean enunciados claramente.
2) Que las proposiciones primeras, con las cuales se propone uno demostrar todas las otras, sean enunciadas claramente.
3) Que las relaciones que se enuncien entre los términos primeros sean sólo relaciones lógicas y que se mantengan independiente dl sentido concreto que pueda darse a los términos.
4) Que sean sólo estas relaciones las que puedan intervenir en las demostraciones en forma independiente del sentido que tengan los términos (esto prohíbe, particularmente, tomar en préstamo cualquier cosa concerniente a la consideración de las figuras).
Un sistema geométrico, aparte de la lógica, da por supuesto a la aritmética, pues para definir un triángulo es necesario utilizar el tres; asimismo, para demostrar que la suma de sus ángulos es igual a dos rectos, se hace necesario admitir la validez de los teoremas aritméticos relativos a la adición. En forma general, se denominará anteriores a un sistema axiomático a todos los conocimientos del sistema así llamado. Se verá entonces que si una axiomática aparece como un sistema puramente formal, los conocimientos que necesita para constituirse son nociones entendidas en la totalidad de su sentido, así como tesis tomadas en su verdad material. Recurrir a los conocimientos anteriores, especialmente si no se expresa declaradamente, choca con el espíritu de la axiomática, que se impone como deber tratar de explicarlo todo, sin que nada quede presupuesto. Queda claro que esto se puede matizar mediante el recurso de enumerar, al iniciar una axiomática, las ciencias que se presuponen. Tal formalidad no basta en forma alguna para resolver la infinidad de problemas que emergen aquí y cuya determinación resultar fundamental para los posteriores desarrollos de la axiomática. El aritmético y el lógico numeran sus proposiciones y teoremas, cuentan el número de sus nociones primeras. Y lo que es cierto en el caso de las nociones aritméticas con mayor razón lo es para las nociones lógicas. Por otro lado, no siempre resulta fácil delimitar con precisión la frontera entre lo que son las nociones propias de una ciencia y las que le resultan anteriores. Podemos leer por ejemplo en un tratado de geometría: “La recta a pasa por el punto A.” La frase pasa por pertenece aparentemente al vocabulario de la geometría; pero cómo es posible evitarla al decir: “El punto A pertenece a la recta a“, y que la pertenencia de un individuo a una clase (si se considera a la línea como una clase de puntos) es una noción lógica, el término pasa por debe en este caso ser incluido entre los términos lógicos. Un poco más allá podemos leer las dos frases: “Si un punto está dado fuera de un plano”, etc., y también: “Si un punto está dado fuera de una superficie esférica“, etc., ¿cómo se puede clasificar ese fuera de? En el primer caso citado simplemente se dice que el punto no pertenece al plano, tratándose entonces de un término lógico. Pero en el segundo caso lo que se quiere decir es algo más. No sólo que no pertenece a la superficie de la esfera sino también que no se encuentra situado en el interior de ésta. Por tanto, el mismo término debe ser considerado como propio de la geometría. Podría creerse que la enumeración hecha por separado de los términos de un sistema resultaría totalmente superflua, puesto que tales términos no son los que se pueden encontrar en las proposiciones primeras. Cierto es que en las primeras axiomáticas no siempre solía tomarse tal precaución. En algunas ocasiones resulta difícil reconocer en las proposiciones cuáles son los términos propios de la teoría, por lo que, se comprende, es necesario dar una lista exacta de ellos.
Indefinibles e indemostrables. Los sistemas equivalentes
Una de las características que definen en forma más visible que una teoría deductiva ha sido puesta en forma axiomática es, como se ha visto, que se comienza a despejar y enunciar en forma expresa y exhaustiva lo que son los indefinibles y los indemostrables de la teoría. Tal formulación demanda empero, si bien no correcciones, al menos alguna interpretación. En primer lugar, no resulta lógicamente necesario que todos los términos fundamentales y los postulados se presenten en conjunto desde el principio de la teoría y que queden agotados antes de que se inicien las definiciones y demostraciones. En vista de que una teoría axiomatizada alcanza un buen grado de complejidad, un procedimiento semejante pondría en riesgo la exposición sin lograr ventaja lógica alguna. En tal caso se considerará con frecuencia preferible avanzar en grados sucesivos y no ir presentando las nuevas nociones fundamentales con los postulados correspondientes a medida que vaya siendo necesario, ya sea en forma aislada o en grupo, con la condición bien entendida de que todo se haga en forma muy clara. Falta decir que la mención de términos aún no definidos y de las proposiciones no demostradas, debe preceder siempre la de los términos y las proposiciones de éstos derivadas, mediante demostración o definición, y es sólo en este sentido relativo que merecen ser definidos como primeros. Del mismo modo que las palabras primero y comienzo, indefinible e indemostrable sólo deben ser entendidas en sentido relativo. Existe la tendencia creciente a evitarlas de modo que se eviten las equivocaciones. Un término no puede ser indefinible del mismo modo que una proposición no puede ser indemostrable, salvo al interior de un sistema que ha sido estructurado en una forma determinada, y de manera continua pueden constituir el término de una demostración o una definición, siempre que se modifiquen adecuadamente las bases del sistema. Tengamos siempre en cuenta el ejemplo de la geometría euclidiana: no resulta imposible de ninguna forma demostrar en ella el postulado de las paralelas. De este modo, en lugar de demostrar por medio de aquella que la suma de los ángulos de un triángulo es igual a dos rectos o que a toda figura se le puede hacer corresponder una figura semejante de cualquiera magnitud o que por todo punto interior de un ángulo es posible trazar una recta que corte ambos lados, resulta imposible invertir este orden y podrá demostrarse la unicidad de la paralela tomando como postulado cualquiera de estas últimas proposiciones. Del mismo modo, la elección de los términos de la teoría que se instituirán como fundamentales queda al libre albedrío. Un cambio en la lista de los términos primeros basta para determinar el cambio correspondiente en los postulados, pues éstos enuncian relaciones entre esos términos. Resulta necesario entonces vigilar, al hablar de un sistema deductivo, que no se confundan dos acepciones de la voz sistema, esto es, el conjunto de las nociones y proposiciones que lo integran, ya sean primitivas o derivadas, así como cualquier organización lógica que se le dé. Un sistema, entendido como el conjunto de las nociones y proposiciones que lo integran, se presta a una multitud de representaciones axiomáticas. Por emplear una definición de Nicod, se trata de algo parecido a un poliedro, que puede descansar sobre gran variedad de bases. Tales sistemas distintos, en el sentido de organización lógica, reciben el nombre de equivalentes. De este modo, todas las reconstrucciones axiomáticas de la geometría euclidiana resultan equivalentes, pues en el fondo contienen el mismo conjunto de términos y proposiciones y sólo difieren en que éstos pueden dividirse en primitivos y derivados
Las definiciones por postulados
El estatuto lógico de los postulados queda bastante claro, no quedan afirmados a título de verdades generadoras de otras verdades, sino que sólo se les coloca a título de hipótesis que permiten deducir un conjunto dado de proposiciones o de las que uno se propone investigar las consecuencias que implican. Se sabe que en forma alguna resulta necesaria que las proposiciones sean verdaderas y que sean conocidas como tales para que sea posible razonar sobre ellas correctamente; la validez de un razonamiento es independiente de la verdad de su contenido. Este modo de determinar el valor de un término no puede considerarse propiamente una definición pues no establece una equivalencia lógica entre el término nuevo y una expresión conocida. Mas en vista de que sí cumple la función de una definición, esto es, fijar su significado, puede considerársele como una definición implícita. Esta noción se debe a Gergonne. “Si una frase”, observa, “contiene una sola palabra cuyo significado no es desconocido, el enunciado de esa frase bastaría para revelarnos su valor. Así, si se dice a una persona que conoce las voces triángulo y cuadrilátero, pero que nunca ha escuchado la voz diagonal, que cada una de las dos diagonales de un cuadrilátero lo divide en dos triángulos, imaginará de inmediato lo que es una diagonal, pues aquí se trata de la única línea que es capaz de dividir un cuadrilátero en un triángulo. Esta suerte de frases que dan la comprensión de una de las palabras de que se componen recurriendo al significado conocido de as otras podrían ser denominadas definiciones implícitas en oposición a las definiciones ordinarias que recibirían el nombre de definiciones explícitas.” Este procedimiento no tiene nada de extraño. Es del mismo modo como el niño aprende el sentido de la mayoría de las palabras de su idioma. En el campo de las ciencias físicas resulta común que una ley que ha sido establecida recurriendo a la ayuda de nociones provisionales permita, a cambio, precisar su sentido. El nominalismo científico se basaba en esto para establecer que las leyes son con frecuencia sólo definiciones disfrazadas. La ley de la caída de los cuerpos define la caída libre; la ley de las proporciones definidas caracteriza la combinación en oposición a la mezcla, etc. Las definiciones indirectas pueden compararse a una ecuación con una sola incógnita y cuyo valor lo fija el conjunto de la ecuación. Tal definición resulta unívoca si, en el ejemplo de Gergonne, un solo valor puede satisfacer la ecuación, pero no siempre es así. En especial, si tomamos en cuenta todo un sistema de ecuaciones con varias incógnitas, ocurrirá entonces que varios sistemas de raíces satisfagan las ecuaciones, e incluso una infinidad, como si se estableciera: Y = 2x Z = y+x
En un sentido el sistema queda determinado, pues si se da a una de las incógnitas algún valor arbitrario, los de las otras dos quedan fijados también de inmediato. En vez de individual la determinación es, de alguna forma, global, y asume un carácter más abstracto. En nuestro ejemplo, y siempre será el doble de x y z el triple. Más que los propios términos, son, como puede verse aquí, las relaciones entre los términos las que quedan exactamente determinadas. La caracterización de los términos primeros por las relaciones que enuncian entre ellos los postulados nos pone en una situación análoga. Un sistema de postulados puede compararse a un sistema de ecuaciones que tenga varias incógnitas; estas incógnitas se corresponden a los términos de la axiomática que se considera. Su valor no es cualquiera, pero no se encuentra determinado implícita, solidaria, equívocamente. Esta forma de establecer el sentido de los términos se considera un caso de definición implícita, la definición por postulados. Se entiende así por qué Poincaré podía afirmar, refiriéndose a los postulados de la geometría euclidiana, que se trata de definiciones disfrazadas. El conjunto de postulados euclidianos constituye, de hecho, una definición implícita del conjunto de las nociones euclidianas Puede verse mejor ahora que los postulados de una teoría no son proposiciones, esto es, que pueden ser verdaderas o falsas, puesto que contienen variables que, relativamente, se encuentran indeterminadas. Únicamente en el momento en que se dé determinado valor a esas variables, o dicho de otro modo, si se les sustituye por constantes, entonces los postulados se convertirán en proposiciones verdaderas o falsas, de acuerdo con la elección que se haya tomado para estas constantes, aunque entonces se sale de la axiomática y se pasa a sus aplicaciones
Los modelos el isomorfismo
A una teoría en el estadio pre axiomático se le puede dar el nombre de concreta, material o intuitiva. Esto significa que aún mantiene contacto con los conocimientos que organiza y que su contenido conserva su sentido y su verdad empíricos. Es tal el caso de la geometría ordinaria, como se enseña comúnmente en las escuelas. Es siempre posible, como se ha visto, reconstruir una determinada teoría deductiva concreta sobre distintas bases. De este modo, los diversos autores de tratados de geometría elemental, al mismo tiempo que ofrecen desde hace siglos el mismo cuerpo de doctrina, han ido más o menos modificando el ordenamiento euclidiano. Son secundarias hasta donde el contenido de la teoría es considerado esencial, pero estas diferencias formales toman una importancia creciente a medida que se descuida su contenido. Por eso es posible decir que su interés sólo se manifiesta en pleno con las axiomáticas, teorías abstractas y formales. En tal sentido se opondrá, a una teoría concreta determinada, la pluralidad de las axiomáticas que le corresponden. Por ejemplo, la axiomática de Hilbert es sólo una entre todas a las que se presta la geometría euclidiana. Consideremos por ahora sólo una de las axiomáticas múltiples de una teoría concreta. Como el sentido de sus términos, y en consecuencia, de todas sus proposiciones no está fijado sino equívocamente por los postulados, se podrá en todo caso, si se descubren varios sistemas de valores que satisfagan por igual el conjunto de las relaciones que enuncian los postulados, dar interpretaciones concretas distintas, o bien, escoger entre varias realizaciones. Las realizaciones concretas de una axiomática se denominan sus modelos. Se da como entendida de por sí que la teoría concreta original que proporcionó los puntos de referencia del esquema lógico trazado por la axiomática será uno de los modelos, pero no el único. Una axiomática se presta, como ya se comprobó en ocasión de la axiomática peaniana, a realizaciones diferentes y éstas pueden ser tomadas de dominios de pensamiento muy alejados del dominio inicial. Se da entonces una pluralidad de interpretaciones y modelos concretos que oponemos a una sola y misma axiomática.
En el caso en que los modelos no se distinguen de esta forma entre ellos sino por la diversidad de las interpretaciones concretas que pueda darse a sus términos y coinciden de manera precisa si se hace abstracción de éstas, de modo que se instalen en el plano de la axiomática formal, se dice entonces que son isomorfos, pues tienen la misma estructura lógica. El método axiomático tiene precisamente el interés de revelar los isomorfismos entre teorías concretas que son aparentemente heterogéneas, para restablecerlas en la unidad de un sistema abstracto. De este modo, cualquiera de estas teorías podrá servir de modelo a las otras, si ampliamos un poco el uso de esta palabra, así como a la teoría abstracta correspondiente. Existen entonces tres niveles que deben distinguirse y sobre los que es posible diversificar una teoría deductiva. Regresemos, como siempre, al ejemplo de la geometría euclidiana. En primer lugar, si se modifica en forma diversa por lo menos uno de sus postulados, se obtendrán otras teorías (geometría lobachetvskiana, no arquimediana, etc.), que serán sus vecinas o parientes (emparentadas). Es en este sentido que se habla de la pluralidad de las geometrías.
En lugar de modificar, dentro de un sistema de postulados compatibles e independientes, puede intentarse eliminar uno de ellos sin tocar a los demás. Entonces el sistema se debilita, dado que se le han eliminado ciertas determinaciones. Es por eso que allí se le ensancha abriendo la puerta a determinadas posibilidades que el postulado recién extraído tenía, por efecto, excluir. Dicho de otro modo, el sistema se encuentra empobrecido en comprehensión y enriquecido en extensión. Por ejemplo, si al mantener intactos los demás postulados euclidianos se niegan la unicidad de la paralela, se logra la geometría lobachetvskiana que, aunque diferente de la de Euclides, tiene, sin embargo, el mismo grado de particularidad. Pero si, al contrario, se deja totalmente indeterminado el número de las paralelas posibles, esto es, si en vez de reemplazar el postulado de las paralelas uno se contenta con suprimirlo, cavando en cierta forma un vacío en el sistema, se obtienen entonces los principios de una geometría más general en la que las de Euclides y Lobachetvskiana aparecerían como especificaciones. Puede intentarse hacer la operación a la inversa, probando reforzar y limitar un sistema determinado añadiéndole uno o varios postulados independientes de los primeros. Por lo general se tropieza con un obstáculo, pues llega un momento en que la adición de todo postulado independiente, el que sea, convierte al sistema en contradictorio. Se dice entonces que el sistema está saturado. Es éste el caso de la geometría euclidiana, con la condición de que no se incluyan en ella como postulados adicionales aquellos que, sin estar expresamente formulados, no estaban menos admitidos implícitamente en las demostraciones.
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