El método axiomático en la ciencia

Se denomina axiomático al procedimiento mediante el cual trabajan las ciencias formales teniendo en cuenta el aspecto dinámico que involucra la formulación de los axiomas y la justificación de ciertos enunciados que se obtienen a partir de los axiomas mediante procedimientos de transformación. Si en cambio se consideran estáticamente los resultados de la aplicación del método es decir su aspecto estructural estaremos analizando sistemas deductivos o formales también llamados sistemas axiomáticos formales donde se abstrae el contenido significativo de sus componentes es decir se dejan del lado los aspectos semánticos y pragmáticos.
Ventajas del método axiomático
En sus principios, la formulación axiomática de una teoría deductiva podría parecer que tenía un interés limitado. Entre los matemáticos, gran cantidad de ellos no veían en ella sino poco más que un procedimiento elegante de hacer una exposición, cuyo refinamiento era muy superfluo, casi una especie de juego intelectual apto sólo para satisfacer espíritus en exceso escrupulosos en lo que respecta al rigor lógico, pero que se encontraba al margen del trabajo científico y verdaderamente productivo. Debido a su carácter deliberadamente formal, ¿no se prohibía la axiomática a sí misma enriquecer con sustancia alguna de carácter nuevo el contenido de nuestro conocimiento? Su utilidad como método aún parecía dudosa, no sólo en lo que toca a sus aplicaciones prácticas, sino incluso al interior de la ciencia pura. No obstante, la historia de la ciencia muestra en forma excesiva que, con frecuencia, las investigaciones inicialmente más desinteresadas son las que al final se revelan como las más fecundas. Después de todo, un espíritu escéptico ¿no habría expresado objeciones muy parecidas en el momento en que los griegos, al poner en forma deductiva todo un cuerpo de verdades empíricas, construyeron las matemáticas como una ciencia racional, iniciando en esta forma a la humanidad en la era científica? Si se reflexiona sobre ellas, las ventajas del método axiomático resultan manifiestas. En primer lugar constituyen un instrumento precioso de abstracción y análisis. El paso de una teoría concreta a la misma teoría axiomatizada, formalizada posteriormente, renueva, prolongándolo, el trabajo de abstracción que lleva, por ejemplo, de un número concreto (un montón de manzanas o de guijarros) al número aritmético, y después de la aritmética al álgebra, reemplazando los términos individuales por variables de las cuales sólo están determinadas las relaciones. Y, en fin, del álgebra clásica a la moderna, en la cual no sólo los objetos sino también las relaciones que se efectúan sobre estos objetos llegan a su vez a ser concretamente indeterminadas, fijadas sólo por algunas propiedades fundamentales muy abstractas. Por otro lado, ante el tratamiento axiomático, las nociones fundamentales de una teoría quedan con frecuencia confusas, tienen comprehensión que son a la vez demasiado ricas e insuficientemente explicadas. Nada garantiza entonces que estos elementos diversos continuarán siendo siempre compatibles, y nada nos precave en contra del peligro de resbalar en forma inconsciente en nuestros razonamientos de uno a otro. El método axiomático prosigue el análisis de las nociones primeras, obligando a aislar ciertas propiedades enunciadas expresamente en los axiomas y a usar únicamente a ellas o lo que se haya deducido de ellas. Un progreso en la abstracción va siempre a la par con un progreso en lo general, dejando caer algunas de las determinaciones disociadas por el análisis. La reducción de la comprehensión elimina las restricciones y asegura el ensanchamiento de la extensión. Russell afirma que generalizar es transformar una constante en una variable, y tal es precisamente el trabajo del axiomático cuando sustituye la recta, la congruencia, por x, y…, que satisfacen a las relaciones que enuncian los postulados. De este modo, cuando descartamos las significaciones intuitivas, que siempre son especiales, no sólo nos hacemos capaces de pensar en forma más desembarazada la teoría inicial, sino que, de golpe, se forma un instrumento intelectual plurivalente que puede utilizarse en todas las teorías isomorfas a la primera. Del mismo modo que una función es, como se ha dicho, un molde de proposiciones, una teoría axiomatizada llega a ser una especie de “función teórica”, un molde de teorías concretas. El defecto de la univocidad, lejos de perjudicar a las definiciones por postulados, por lo contrario constituye su interés. La indeterminación de una estructura formal no puede considerarse una indigencia desde el momento en que no es una cualquiera, sino que se encuentra regulada por condiciones muy precisas. La pluralidad de los posibles, en los límites precisamente delimitados, representa por lo contrario una verdadera riqueza virtual. Se obtiene de este modo, por la axiomática, una economía importante de pensamiento, pues se reúnen varias teorías en una, lo múltiple se piensa en uno. Pero también se gana bastante para el mismo saber. Primero, en su organización de conjunto. Al igual que la anatomía comparada, guiada por el principio de la identidad de plan, discierne en su pintoresca variedad los órganos homólogos, así también la axiomática, al descubrir las analogías formales, revela correspondencias insospechadas entre los dominios diversos de una misma ciencia e incluso parentescos entre ciencias que al parecer eran ajenas o lo parecían. Al poner de relieve la estructura invariante que es común a teorías que al parecer son heterogéneas, se hace posible dominarlas mediante el pensamiento y, en una visión más sintética, abrazar con la mirada vastos paisajes intelectuales que sólo se conocían fragmentariamente, en lo cual encontrarán provecho los espíritus que se encuentran más atentos al acrecentamiento cuantitativo de los conocimientos que a su organización armoniosa. Pues tal organización hace sensibles las lagunas que la analogía invita a llenar. Cada teoría saca provecho de las que, en la actualidad, se denominan emparentadas. Se transfieren aquí, donde no lo sugería nada intuitivo, los resultados adquiridos en otras partes. A estas ventajas, que ya en primer grado ofrecen las primeras axiomáticas, vienen en forma natural a combinarse, en las axiomáticas formalizadas, las de todo cálculo simbólico: seguridad, objetividad.
La axiomatización de las matemáticas
Resultaría en extremo difícil medir con precisión la parte que le corresponde al método axiomático en el desarrollo de las matemáticas modernas. Más que de una causalidad bien orientada, indudablemente sería obligado hablar con frecuencia de acciones recurrentes o conjugadas. La teoría de los grupos, por ejemplo, de la que ha sido posible decir que es la matemática despojada de su sustancia y reducida a su forma pura, nació antes que ella y se desarrolló inicialmente en forma independiente. No obstante, el espíritu en que se inspira está tan de acuerdo con la axiomática, y los problemas son a menudo tan cercanos, que ambos órdenes de investigaciones se encuentran en la actualidad relacionados muy íntimamente. Sus rasgos característicos ya son reconocidos fácilmente en el pensamiento matemático clásico: abstracción y generalización creciente, rechazo a la intuición que se sustituye con la lógica, subordinación del contenido a la estructura, establecimiento de correspondencias unificadoras, etc. No resulta menos cierto por esto que Hilbert, al haber enseñado a los matemáticos a “pensar axiomáticamente” haya modificado profundamente el “estilo matemático”, precisamente donde el método axiomático no se emplea en forma sistemática. Pero éste lo es cada vez más. Toda teoría matemática, desde la aritmética y la teoría de los conjuntos hasta el cálculo de probabilidades, ha sido ya axiomatizada y, con frecuencia, en formas múltiples. Esta notoria dificultad ilustra sorprendentemente lo que tiene de incómoda y transitoria la fase de la deducción concreta, en la cual se debe y no se puede justificar los principios. Las cosas quedaban claras en la fase empírica e inductiva. Al dejarnos guiar por nuestro sentimiento intuitivo de las probabilidades podríamos ver, por ejemplo, que no existe razón alguna para que caiga águila o sol. Y después llegamos a establecer las dos leyes, que la experiencia verificará, de las probabilidades totales y de las probabilidades compuestas. Y esto volverá a resultar claro en la fase axiomática, la de la deducción abstracta: ambas leyes quedarán establecidas ahora como principios. Tal purificación conceptual iniciática constituye apenas el beneficio menor que es posible obtener del método. Como se ha visto, el análisis axiomático destaca las estructuras de las teorías particulares que se encuentran ya constituidas, revelando así las analogías formales entre teorías con frecuencia muy alejadas en su contenido y que por esta razón permanecen como si fueran independientes. El cálculo de probabilidades con ciertas lógicas plurivalentes; la topología con determinados cálculos de lógica modal; teorías antiguas, puestas en claro con una luz nueva procedente del isomorfismo, pueden experimentar desarrollos inesperados. La similitud de funciones lleva también a crear, para una teoría, nociones abstractas que no podían sugerir nada en tanto se encontraban sujetas a su interpretación primigenia. De este modo nacen seres matemáticos nuevos. No sólo se aprovechan del tratamiento axiomático las teorías particulares, sino que toda la fisonomía del conjunto de las matemáticas se encuentra transformada. Debido a parentescos insospechados que se revelan de pronto, se redistribuye el universo matemático. El orden tradicional, que repartía las disciplinas matemáticas de acuerdo con los objetos de estudio (aritmética, álgebra, análisis infinitesimal, geometría) parece en la actualidad tan superficial como el de las antiguas clasificaciones zoológicas que agrupaban a los animales de acurdo con sus semejanzas exteriores (acuáticos, terrestres, aéreos) en lugar de basarse en las similitudes de su estructura. Se coordinan ahora teorías que tratan acerca de objetos muy diferentes pero que se encuentran dotados de propiedades formales análogas. La teoría de los números primos se halla muy cercana a la de las curvas algebraicas, la geometría euclidiana a las ecuaciones integrales simétricas. Y la subordinación se basa sobre la jerarquía de las estructuras, que van de las más simples y generales a las más complejas y más especiales. En primer lugar, algunas estructuras maestras que tienen un carácter más amplio: estructuras algebraicas, estructuras de orden, estructuras topológicas. A continuación estructuras que son ya más complejas y diferenciadas, en las que se combinan orgánicamente dos o más de estas estructuras maestras, como por ejemplo el álgebra topológica.
La axiomatización de las demás ciencias
El sistema axiomático no se aplicó exclusivamente a las matemáticas sino que se desbordó por todos lados. No constituirá sorpresa alguna que un método cuyo propósito es suplantar la intuición por la lógica haya encontrado su campo d elección en la misma lógica. Esta ciencia hace en la actualidad un empleo sistemático y regular de ella y, al contrario, su uso va disminuyendo a medida que se desciende en la escala de las ciencias, cuando se pasa de la mecánica a otras partes de la física y, de allí, a las ciencias de la naturaleza. Podría decirse que no ha excedido aún el dominio de la física. Los ensayos que se han hecho en el campo de otras ciencias, como Woodger lo intentó con la biología, continúan siendo esporádicos y su interés radica exclusivamente en la curiosidad que provocan. No se trata de que ninguna ciencia rechace, por su naturaleza misma, su empleo, pero éste, para que rinda frutos, sólo debe llegar a su hora y en el momento en que la ciencia en cuestión alcance cierto grado de madurez. Existe una especie de ley del desarrollo de las ciencias que las hace pasar en un orden irreversible, y cada una de ellas, a su turno, de acuerdo con el rango que ocupan en la jerarquía, por cuatro etapas sucesivas: la descriptiva, la inductiva, la deductiva y la axiomática. Una axiomática queda en una especie de vacío si no es construida sobre una teoría deductiva previa, la cual carece de valor científico si no organiza un vasto conjunto de leyes adquiridas inductivamente, tras una prolongada exploración de los fenómenos. La física inductiva en los siglos XVII y XVIII dio paso, en el siglo XIX, a la era de las grandes teorías deductivas y, en la actualidad, ha llegado al punto en el cual el tratamiento axiomático le es ampliamente aplicable. No siempre han sido sus partes iniciales en el tiempo las que han obtenido más beneficios de este tratamiento. En primer lugar, su carácter altamente abstracto y formal que inevitablemente resulta, entre otras muchas razones, de que han dejado de existir dentro de la escala de nuestra intuición. La axiomática consiste en el perfeccionamiento de la teoría deductiva, lo cual también significa que toda puesta en forma deductiva encamina ya por la ruta de la axiomática. La costumbre de duplicar el lenguaje mediante el simbolismo matemático ha acostumbrado a los físicos desde hace mucho tiempo a distinguir no entre teorías con imágenes y teorías abstractas, como entre dos aspectos, uno concreto y otro simbólico de la misma teoría. Pero de acuerdo con la comparación de Poincaré, las imágenes no son sino vestiduras sometidas al capricho de la moda, en tanto que la verdadera teoría, la que permanece, es el sistema de ecuaciones, esto es, de relaciones. Del mismo modo, no han dejado de observar las similitudes formales que se dan entre ecuaciones o sistemas de ecuaciones que pertenecen a capítulos de la física que son concretamente distintos y que, por ejemplo, rigen unos a los fenómenos mecánicos y otros a los fenómenos electromagnéticos: entonces, los isomorfismos les son familiares. Pero ya dentro de la organización conceptual que presupone el establecimiento de leyes, el trabajo de abstracción hace un llamado a las axiomáticas ulteriores. Si la física es una ciencia de lo concreto en el sentido de que descansa sobre lo real, por lo menos los términos entre los que se establecen las relaciones que enuncian las leyes son, por completo, algo distinto a los objetos concretos. La masa, la fuerza, la potencia, la resistencia, son entidades abstractas sugeridas seguramente, como su nombre lo indica, por imágenes, pero cuyo sentido propiamente científico queda fijado exclusivamente por las relaciones que sostienen entre ellas y con otras de naturaleza semejante
Los limites del método axiomático
Las ventajas que ofrece este método no deben, sin embargo, disimular sus límites. En primer lugar no se debe olvidar que sólo representa una de las fases de la ciencia y que incluso el lógico y el matemático no se desinteresan de ninguna manera de la verdad material de sus proposiciones. El aritmético bien puede pretender que la descuida, pero sin embargo no deja de acoger, aparte de situarlos en un nivel inferior, muchos “teoremas empíricos”, que en realidad son verdaderas leyes inductivas. Pero en el lugar preciso en que se procede axiomáticamente, no sería posible llevar adelante el método hacia donde apunta. Este se propone perseguir a la intuición para sustituirla no ya por el razonamiento sino por un cálculo, por un manejo regulado y privado de símbolos. En realidad el formalismo no es capaz de funcionar sin alimentarse, en éste u otro lugar, de la intuición. Y, en primer lugar, de la intuición concreta que lo sostiene. Sólo ocurre en los libros que una axiomática comienza con los axiomas y, en el espíritu del axiomático, ahí termina, pues presupone la deducción material a la que da forma, y ésta, a su vez, ha requerido un largo trabajo inductivo previo para poder reunir los materiales a los que da organización. Sobre estas bases, el trabajo verdadero del axiomático es descubrir los axiomas y, de hecho, no deducir las consecuencias de principios dados, sino por el contrario, frente a cierto conjunto de proposiciones, descubrir un sistema mínimo de principios de los cuales se puedan deducir. Al análisis inductivo que, de los hechos se remonta de las leyes, sucede el análisis axiomático que, prosiguiendo la obra de sistematización deductiva, se remonta de las leyes a los axiomas. Una vez que éstos han sido traducidos a símbolos, con sus reglas de funcionamiento, el formalista podrá olvidar las significaciones intuitivas iniciales.
Éstas no han requerido menos el diseño de su construcción y solas, incluso ahora, hacen comprender las líneas maestras y los contornos y aseguran su unidad: unidad orgánica y no mera yuxtaposición accidental de axiomas. El defecto de una presentación axiomática abrupta, en el momento en que afecta a espíritus que no se encuentran preparados, se encuentra precisamente en esta impresión irresistible de arbitrariedad y vacuidad. La axiomática prácticamente no presenta interés a quien previamente no ha asimilado el conjunto de conocimientos concretos que ordena cuando los esquematiza. No es sólo por juego que se construye una axiomática, y los instrumentos intelectuales se encuentran hechos para ser utilizados. Los teoremas de Gödel han puesto de manifiesto a los propios formalistas, pues en este caso desempeñan un papel comparable al del principio de incertidumbre formulado por Heidelberg en el campo de la física cuántica. Del mismo modo que la intervención de la actividad experimental en el contenido de la observación no puede agotarse en forma indefinida, esto ocurre en la misma forma con la intervención de la actividad mental en las axiomáticas simbolizadas y formalizadas. Ya sea que se alegre o se preocupe uno por esto resulta imposible eliminar el sujeto. De allí proviene la reacción del intuicionismo: “No podemos aceptar que el camino de la ciencia conduce a la eliminación del espíritu.” Incluso con sistemas lo suficientemente rudimentarios como para que no funcionen en ellos aun las interdicciones de Gödel, resulta claro que la percepción de una correspondencia analógica entre la interpretación objetiva y la interpretación sintáctica de las mismas fórmulas necesita, del mismo modo que la inteligencia, de un retruécano, de una iniciativa espiritual y que, por lo general, una cierta constelación de signos, negro sobre blanco, no alcanzará a ser, por decir algo, la demostración de una no contradicción, sino exclusivamente para un espíritu que sepa leerla como tal. El beneficio que provee el método axiomático no es el de excluir la intuición, sino contenerla y retrocederla hacia el terreno estrecho donde resulta irremplazable y posee la ventaja de sustituir el órgano por el instrumento, a continuación el instrumento por la máquina para, finalmente, dotar a la máquina de aparatos de autorregulación. Del mismo modo que una máquina, un mecanismo intelectual no resultaría seguro del todo si se tuviera la certeza total de que no tiene ningún defecto, que no está expuesto a sufrir una avería o a enloquecer, que en modo alguno surgirá una ambigüedad del tipo que sea acerca del modo de aplicar las reglas, o bien, que nunca se nos arroje a una alternativa indefinida de afirmaciones y negaciones que recuerden las antinomias cantorianas. Resulta sin duda más justo solicitar a la intuición y al formalismo que se controlen mutuamente, garantizando así el formalismo contra los errores de una intuición intemperante, aunque con la condición de que él mismo quede sometido a la vigilancia de una intuición aminorada. Por lo demás, nadie ha impugnado en forma seria el papel que mantiene la intuición en el descubrimiento. Cualquiera que sea la fecundidad de un método, su oficio es, sobre todo, de consolidación y, si se quiere, de prolongación, pero sobre un terreno previamente fijado. El método pone en orden lo adquirido y, al hacerlo, llena las lagunas y explota las aperturas, mas no inicia nada que sea esencialmente nuevo. Los descubrimientos revolucionarios son obra del genio que logra trastornar los métodos. Descubrir, probar, nada le resulta menos indispensable a la ciencia que requiere del espíritu de la aventura como del espíritu del rigor. Vistos en esta forma, incluso la intuición y el formalismo se complementan de acuerdo con la diversidad de los espíritus y los cambios de la historia. Un autor al que no se le puede acusar de tibieza para con la axiomática expresamente se encuentra de acuerdo con lo anterior.
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